關於高等數學第七版收斂數列的問題 用反證法證明極限的唯一性時

2021-05-11 08:24:06 字數 3920 閱讀 3498

1樓:匿名使用者

沒有預設,只是省略了一下步驟:

2-2:

|xn-a|<(b-a)/2

那麼就有-(b-a)/2<xn-a<(b-a)/2移項得到:a-(b-a)/2<xn<a+(b-a)/2即(3a-b)/2<xn<(a+b)/2成立那麼我們只取用右邊的xn<(a+b)/2

2-3:

|xn-b|<(b-a)/2

那麼就有-(b-a)/2<xn-b<(b-a)/2移項得到:b-(b-a)/2<xn<b+(b-a)/2即(a+b)/2<xn<(3b-a)/2

那麼我們只取用左邊的(a+b)/2<xn

這兩個不等式就是這樣來的,而不是什麼預設去掉絕對值符號。

在證明收斂數列極限的唯一性時,反證法證明,需不需要

2樓:du基咪

傳個**上來啊

先說一個數列極限的一個性質

有數列極限的定義知

若果a(n)當n趨無窮時 a(n)=a

說明 對於任意給定的e(e>0) 存在n 當n>n時 絕對值(a(n)-a)

用反證法證明極限的唯一性時,為什麼取ε=(b-a)/2

3樓:angela韓雪倩

具體原因如下:

證明如下:

假設存在a,b兩個數都是函式f(x)當x→x。的極限,且a據極限的柯西定義,有如下結論:

任意給定ε>0(要注意,這個ε是對a,b都成立)。

總存在一個δ1>0,當0《丨x-x。丨<δ1時,使得丨f(x)-a丨<ε成立。

總存在一個δ2>0,當0《丨x-x。丨<δ2時,使得丨f(x)-b丨<ε成立。

上面的不等式可以等價變換為a-ε令δ=min,當0《丨x-x。丨<δ時。①,②兩個不等式同時成立。

因為①,②兩個不等式同時成立,所以①式右端必定大於或等於②式左端。

即:b-ε≤a+ε,移項得:(b-a)/2≤ε,因為(b-a)/2是一個確定大小的正數,所以這個結論與極限的定義:

ε可以任意小矛盾,所以假設不成立,因此不存在a,b兩個數都是f(x)的極限,除非a=b矛盾才不會出現。

倘若是x趨於無窮大時的唯一性證明可以參看高數書數列極限唯一性證明,證法完全一樣。

證畢。擴充套件資料:

反證法的邏輯原理是逆否命題和原命題的真假性相同。

實際的操作過程還用到了另一個原理,即:

原命題和原命題的否定是對立的存在:原命題為真,則原命題的否定為假;原命題為假,則原命題的否定為真。

若原命題:

為真先對原命題的結論進行否定,即寫出原命題的否定:p且¬q。

從結論的反面出發,推出矛盾,即命題:p且¬q 為假(即存在矛盾)。

從而該命題的否定為真。

再利用原命題和逆否命題的真假性一致,即原命題:p⇒q為真。

誤區:否命題與命題的否定是兩個不同的概念。

命題的否定只針對原命題的結論進行否定。而否命題同時否定條件和結論:

原命題:p⇒q;

否命題:¬p⇒¬q;

逆否命題:¬q⇒¬p;

命題的否定:p且¬q。

原命題與否命題的真假性沒有必然聯絡,但原命題和原命題的否定卻是對立的存在,一個為真另一個必然為假。

已知某命題:若a,則b,則此命題有4種情況:

1.當a為真,b為真,則a⇒b為真,得¬b⇒¬a為真;

2.當a為真,b為假,則a⇒b為假,得¬b⇒¬a為假;

3.當a為假,b為真,則a⇒b為真,得¬b⇒¬a為真;

4.當a為假,b為假,則a⇒b為真,得¬b⇒¬a為真;

∴一個命題與其逆否命題同真假。

即反證法是正確的。

假設¬b,推出¬a,就說明逆否命題是真的,那麼原命題也是真的。

但實際推證的過程中,推出¬a是相當困難的,所以就轉化為了推出與¬a相同效果的內容即可。這個相同效果就是與a(已知條件)矛盾,或是與已知定義、定理、大家都知道的事實等矛盾。

4樓:林清他爹

我告訴你怎麼來的

證明如下:

假設存在a,b兩個數都是函式f(x)當x→x。的極限,且a,根據極限的柯西定義,有如下結論:

任意給定ε>0(要注意,這個ε是對a,b都成立)。

總存在一個δ1>0,當0《丨x-x。丨<δ1時,使得丨f(x)-a丨<ε成立。

總存在一個δ2>0,當0《丨x-x。丨<δ2時,使得丨f(x)-b丨<ε成立。

上面的不等式可以等價變換為a-ε

令δ=min,當0《丨x-x。丨<δ時。①,②兩個不等式同時成立。

因為①,②兩個不等式同時成立,所以①式右端必定大於或等於②式左端。

即:b-ε≤a+ε,移項得:(b-a)/2≤ε,因為(b-a)/2是一個確定大小的正數,所以這個結論與極限的定義:

ε可以任意小矛盾,所以假設不成立,因此不存在a,b兩個數都是f(x)的極限,除非a=b矛盾才不會出現。

倘若是x趨於無窮大時的唯一性證明可以參看高數書數列極限唯一性證明,證法完全一樣。證畢。

5樓:匿名使用者

這樣a與b的ε=(b-a)/2鄰域正好無交集,取得更小點也行,但最大隻能取這個,否則兩個鄰域的交非空,證不出

收斂數列的性質極限的唯一性證明沒看懂?

6樓:

假設數列an收斂於實數a和實數b,其中a≠b,不妨假設a那麼對於任給的e,總存在n>0,使得對於任意的n≥n,總有

|an-a||a-b|/2對於任意的n≥n成立。

因此存在一個e'=|a-b|/2>0,使得對於任意的n'>0,總會有更大的n''>n且n>n',使得

對於任意的n≥n'',總是不滿足|an-b|

根據數列極限的e-n定義法,數列an不收斂於b。

高數收斂數列極限唯一性證明題

7樓:馬小跳啊啊

設函式f(x)的定義域du為d,數zhi集x⊆d如果存在數k1使得 f(x)≤k1對任意x∈x都成dao立則稱函式f(x)在x上有上界內。而k設函式f(x)的定義域容為d,數集x⊆d如果存在數k1使得 f(x)≤k11稱為函式f(x)在x上的一個上界。 此外,如果存在數字k2使得 f(x)≥k2對任意x∈x都成立,則稱函式f(x)在x上有下界,而k2稱為函式f(x)在x上的一個下界。

 如果存在正數m,使得 |f(x)|≤m 對任一x∈x都成立,則稱函式在x上有界。如果這樣的m不存在就稱函式f(x)在x上無界;這也就是說,無論對於任何正數m,總存在x1屬於x,使得|f(x1)|>m,那麼函式f(x)在x上無界。

這是函式的有界性。證明過程如下:

高等數學--關於證明極限唯一性時遇到的問題

8樓:

ε 讀作:copy伊普西龍,

表示bai一個很小的正數

在這道題只是為了證明結論du,作者憑空構造出zhi來的,不dao是唯一的,可以更小,比如令ε=(b-a)/8,ε=(b-a)/10000,都可以證明。

就好像利用縮放法證明不等式一樣,只是為了證明結論而想出來的,有時候是憑靈感,有時候憑經驗,有時候根據結論倒推。

證明收斂數列唯一性用的反證法是怎麼回事?怎麼做?

9樓:劉茂非律師

|設limxn=a

limxn=b

a任意ε

bai>0,存在

dun1>0,當zhin>n1時

|xn-a|<ε

任意ε>0,存在n2>0,當n>n2時

|xn-b|<ε

不妨令εdao=(b-a)/2

當n=max時

有|內xn-a|<ε,有

xn<(b+a)/2

|xn-b|<ε,有

(b+a)/2矛盾.

所以容唯一

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