1樓：
（一）有限元方法的基礎是變分原理和加權餘量法
其基本求解思想是把計算域劃分為有限
個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函式的插值點，將微分方程中的變數改寫成由各變數或其導數的節點值與所選用的插值函式組成的線性表示式 ，藉助於變分原理或加權餘量法，將微分方程離散求解。採用不同的權函式和插值函式形式，便構成不同的有限元方法。
在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連線的單元，在每個單元內選擇基函式，用單元基函式的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函式可以看為由每個單元基函式組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。
常見的有限元計算方法是由變分法和加權餘量法發展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據所採用的權函式和插值函式的不同，有限元方法也分為多種計算格式。從權函式的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網格的形狀來劃分，有三角形網格、四邊形網格和多邊形 網格，從插值函式的精度來劃分，又分為線性插值函式和高次插值函式等。
不同的組合 同樣構成不同的有限元計算格式。對於權函式，伽遼金(galerkin)法是將權函式取為逼近函式中的基函式 ；最小二乘法是令權函式等於餘量本身，而內積的極小值則為對代求係數的平方誤差最小；在配置法中，先在計算域內選取n個配置點 。令近似解在選定的n個配置點上嚴格滿足微分方程，即在配置點上令方程餘量為0。
插值函式一般由不同次冪的多項式組成，但也有采用三角函式或指數函式組成的乘積表示，但最常用的多項式插值函式。
有限元插值函式分為兩大類，一類只要求插值多項式本身在插值點取已知值，稱為拉格朗日(lagrange)多項式插值；另一種不僅要求插值多項式本身，還要求它的導數值在插值點取已知值，稱為哈密特(hermite)多項式插值。單元座標有笛卡爾直角座標系和無因次自然座標，有對稱和不對稱等。常採用的無因次座標是一種區域性座標系，它的定義取決於單元的幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作體積比。
在二維有限元中，三角形單元應用的最早，近來四邊形等參元的應用也越來越廣。對於二維三角形和四邊形電源單元，常採用的插值函式為有lagrange插值直角座標系中的線性插值函式及二階或更高階插值函式、面積座標系中的線性插值函式、二階或更高階插值函式等。
對於有限元方法，其基本思路和步驟可歸納為
(1)建立積分方程，根據變分原理或方程餘量與權函式正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表示式，這是有限元法的出發點。
(2)區域單元剖分，根據求解區域的形狀及實際問題的物理特點，將區域剖分為若干相互連線、不重疊的單元。區域單元劃分是採用有限元方法的前期準備工作，這部分工作量比較大，除了給計算單元和節點進行編號和確定相互之間的關係之外，還要表示節點的位置座標，同時還需要列出自然邊界和本質邊界的節點序號和相應的邊界值。
(3)確定單元基函式，根據單元中節點數目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條 件的插值函式作為單元基函式。有限元方法中的基函式是在單元中選取的，由於各單元 具有規則的幾何形狀，在選取基函式時可遵循一定的法則。
(4)單元分析：將各個單元中的求解函式用單元基函式的線性組合表示式進行逼近；再將 近似函式代入積分方程，並對單元區域進行積分，可獲得含有待定係數(即單元中各節點 的引數值)的代數方程組，稱為單元有限元方程。
(5)總體合成：在得出單元有限元方程之後，將區域中所有單元有限元方程按一定法則進 行累加，形成總體有限元方程。
(6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質邊界條件(狄裡克雷邊界條件 、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對於自然邊界條件， 一般在積分表示式中可自動得到滿足。
對於本質邊界條件和混合邊界條件，需按一定法 則對總體有限元方程進行修正滿足。
(7)解有限元方程：根據邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉 方程組，採用適當的數值計算方法求解，可求得各節點的函式值
（二）***sol軟體採用的是加權餘值法
有限元法的最主要的一個特點就是把要求的方程偏微分形式轉化成積分形式，而這一過程主要通過兩個途徑：加權餘值法和變分法。而等效積分弱形式是針對加權餘值法來說的。
把強形式轉化為弱形式，是前期有限元的核心技術；隨著技術的進步和發展，才慢慢將變分法引入到有限元，從一定程度上說，變分法比加權餘值更加先進合理，其實現在的變分法還在逐漸進步和發展，當然也有一些爭議，比如對我國胡海昌院士提出的廣義變分原理獨立變數數目的爭議，但總體來說，變分法是優越於加權餘值法的。這也是為什麼大部分商業cae軟體採用變分法的原因（***sol，fepg除外）！
將微分方程轉化為弱形式，這個弱並不是弱化對方程解的結果，而是弱化對解方程得要求，具體點是弱化待求變數的連續性，當然這種弱化是以提高權函式的連續性為代價的。通過引入權函式或試函式，將微分方程轉化為等效積分方程，要使這一積分形式有解或者說存在，就必須對權函式和待求變數加以限制，將等效積分形式分步積分，得到的形式就稱為等效積分弱形式。因為分步積分後，運算元導數階次降低，對待求變數的連續性降低，這就起到了弱化作用，將近似解帶入微分方程會有餘值，而這餘值形式中又有我們前面引入的權函式，所以我們把這種餘值的加權積分，稱為加權餘值法，這一名稱應該就是這麼來的。
為了保證微分形式和積分形式是等效的 ，引入的權函式必須任意的，如果選權函式為待求變數解前面的形函式，那麼這一形式就變成我們所說的伽遼金法（galerkin法),因此可以說，伽遼金法是眾多加權餘值法中的一種，都是在近似試函式中選擇引數，得到近似解。而里茲法(ritz) 是基於變分原理的。有些人總不分變分和加權殘值法，其實這兩種方法是不同的，雖然有時候是等效的。
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