1樓：及千風
素數與公因數
1、素數 我們知道，大於1，並且除1和它本身外沒有其他因數的自然數叫素數(或質數)
2是最小的素數，除2以外，所有的偶數都不是素數。
按順序，下列為一個小素數序列:
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，…
不是素數的整數a>1稱為合數。例如，因為有3|39，所以39是合數。整數1被稱為基數，它既不是質數也不是合數。類似地，整數0和所有負整數既不是素數也不是合數。
關於素數，有如下重要結論：
①素數有無窮個。
證明：假設素數只有有限的n個，從小到大依次排列為p1,p2,...,pn，則 x = (p1·p2·...
·pn)+1 顯然是不能被p1,p2,...,pn中的任何一個素數整除的，因此x也是一個素數，這和只有n個素數矛盾，所以素數是無限多的。
這個證明的最早來自亞里士多德，非常漂亮，是反證法的經典應用，這個證明被尤拉稱為「直接來自上帝的證明」，歷代的數學家也對其評價很高。
但是，千萬不可認為，形如p1·p2·...·pn+1（其中p1,p2,...,pn均為素數）的數就一定是素數！
第八屆全國青少年資訊學奧林匹克聯賽（noip2002)提高組初賽試題第三題第2小題，寫程式執行結果，程式要找的就是形如p1·p2·...·pn+1（其中p1,p2,...,pn均為素數）的數中第一個是合數的整數。
2*3+1=7 是素數
2*3*5+1=31 是素數
2*3*5*7+1=211 是素數
2*3*5*7*11+1=2311 是素數
2*3*5*7*11*13+1=30031 不是素數，因為30031=59*509
引用內容
華東師範大學版的數學9年級教材p94有這樣一個命題：
從素數2開始，排在前面的任意多個素數的乘積加1一定也是素數。
這個結論就是錯誤的。
雖然最大的素數是不存在的，但是人們卻對探知最大的素數樂此不疲。
213466917-1
這是到目前為止人類所發現的最大素數,它是由michael在2023年12月7日發現的,這是一個梅森素數,有4,053,946位數字。
所謂梅森素數,是以17世紀法國修道士m.梅森的名字命名的.梅森在2023年出版的著作《物理數學隨感》的序言中宣稱,對於n=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257,數mn=2n-1是素數,而對於其他所有小於257的數n,mn是合數.
但是,這裡出現了5個錯誤,m67,m257不是素數,而m61,m89,m107是素數.顯然,要使mn是素數,n本身必須是素數,但是反過來,n是素數,mn卻不一定是素數,例如雖然11是素數,可是m11=2047=23x89是合數.
現在尋找很大的梅森素數時,已經完全依賴於計算機了,可以想象,離開了計算機,我們人類將會落入一種怎樣的地步.當d.h.
萊默博士這位曾經在梅森素數上花費了許多時光的老學者,親眼看到了計算機在短短的48秒鐘內做完了他20年前花費了700多小時才完成的艱辛勞動,最後證明2257-1是一個合數時,他是多麼地感慨萬端哪.
時至今日,人類只找到39個梅森素數.前18個梅森素數是n=2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3217時的mn=2n-1.下表列出了從2023年以來所發現的全部梅森素數.
素數是無限的，歐幾里得在《幾何原本》裡面已經給出了證明，現在已經有很多種證明方法了。這裡我收集一兩個。
證法一：
（一）學過初中的同學都知道n!與n!+1互質。
故n!與1、2、3、…..n-1、n互質那麼n!
+1有2種可能（1）n!+1為素數。(2)n!
+1為合數
（1）設a=n!+1為素數 集合a=有b個素數，則集合b=內至少有b+個素數
（2）設a=n!+1為合數則在集合b\a中至少有2個元素可以被a整除
易證：c=min為素數。同（1）設集合a內有b個素數。則集合b內至少有b+1個素數
綜合（1）、（2）可得：設集合a=有b個素數，則集合b=內至少有b+個素數。
重複（一）操作可得集合c=內至少有b+2個素數。
繼續沿用（一）的操作，用數學歸納法可證:設集合a=有b個素數，則集合d=內至少有b+d個素數
d重由此：當d→+∞時，e=素數的個數≥b+d=+∞
證明完畢。
證法二：（反證）
假設素數是有限的，假設素數只有有限的n個，最大的一個素數是p
設q為所有素數之積加上1，那麼，q = （ 2 * 3 * 5 * …… * p ）+ 1不是素數
那麼，q可以被2、3、……、p中的數整除
而q被這2、3、……、p中任意一個整除都會餘1，與之矛盾
所以，素數是無限的。
（也可以這樣說明：若q能被小於q的數整除，情況有兩種，被小於q的素數或被小於q的合數。小於q的素數也就包括在2，3，5，…… p 中，明顯不能被他們整除；如果能被小於q的合數m整除，合數m又可以分為兩個更小的素數相乘，設m=s*t，則s 2樓：潮雋賁旻 ●假設質數只有有限的n個，從小到大依次排列為p1，p2，……，pn，設n= p1×p2× ……×pn，那麼，n+1是素數或者不是素數。 ●如果n+1為素數，則n+1要大於p1，p2，……，pn，所以它不在那些假設的素數集合中。 ●如果n+1為合數，因為任何一個合數都可以分解為幾個素數的積；而n和n+1的最大公約數是1，所以n+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以該合數分解得到的素因數肯定不在假設的素數集合中。 ●因此無論該數是素數還是合數，都意味著在假設的有限個素數之外還存在著其他素數。 ●對任何有限個素數的集合來說，用上述的方法永遠可以得到有一個素數不在假設的素數集合中的結論。 ●所以原先的假設不成立。也就是說，素數有無窮多個。 3樓：康興有寶丁 假若素數只有有限多個，設最大的一個是p，從2到p的全體素數是： 2，3，5，7，11……，p。 所有的素數都在這裡，此外再沒有別的素數了。 現在，我們來考察上面從2到p的全體素數相乘、再加上1這個數，設它是a，即 a=2×3×5×7×11×……×p+1。 a是一個大於1的正整數，它不是素數，就是合數。 如果a是素數，那麼，就得到了一個比素數p還要大的素數，這與素數p是最大素數的假設矛盾。 如果a是合數，那麼，它一定能夠被某個素數整除，設它能被g整除。 因為a被從2到p的任何一個素數除，餘數都是1，就是都不能整除，而素數g是能整除a的，所以素數g不在從2到p的全體素數之中。這說明素數g是一個比素數p更大的素數，這又與p是最大的素數的假設矛盾。 上面的證明否定了素數只有有限多個的假定，這就證明了素數是無窮多個。 4樓：匿名使用者 這是個公理，沒有科學的辦法證明 歐幾里得怎麼證明質數個數是無限的 5樓：匿名使用者 假設有最大的質數p，將已知的所有質數相乘再加1，即： m=2×3×5×7×11×···×···×p+1， 那麼m不可能被已知的任何一個質數整除，m有可能是已知質數以外的一個質數，或者能被一個已知質數以外的質數整除，所以必存在比假設的最大質數更大的質數。即質數個數是無限的。 6樓：大漠蒼龍 歐幾里得質數無窮性的嚴格證明： 假設質數只有有限的n個，從小到大依次排列為p1，p2，……，pn，記集合a=；則pn為最大的素數； 設 n = p1 × p2 × …… × pn，那麼，n+1>pn，因為pn為最大的素數，因此n+1為合數。 因為任何一個合數都可以唯一分解為幾個素數的積；而n和n+1的最大公約數是1，所以n+1不可能被p1，p2，……，pn整除，集合a中沒有n+1的素因子，即n+1的素因子必然大於pn，這與「pn為最大的素數」假設相矛盾。 綜上，假設不成立，因此質數有無窮個。 我的幸運數字是，因為在中國古文明文化裡，是太極 陰.陽 2與五行 金.木.水.火.土 5的和。和 者 和諧 是也 家和萬事興 政通人和 和睦相處 和氣生財 和為貴 足見 和 在中國古文明文化中的地位是非常重要的！陰陰和諧則天地風調雨順 五行中庸則萬物蓬勃興盛。我個人的幸運數字是9，爸媽的生日都是9號... x天后2x十18 4x x 9梨9個 蘋果9x4 36 梨有9個，蘋果有36個 蘋果的個數是梨的4倍,如果每天吃2個蘋果和1個梨，幾天後梨吃光，還剩下18個蘋果，那麼梨和蘋果各有 18 4 2 9 個 9x4 36 個 答 梨有9個，蘋果有36個 蘋果的個數是梨的3倍，如果每天吃2個蘋果和1個梨，幾... 證明 設為正整數集，則此集合中的數為公差為1的等差數列任意8個數取a n 7 a n 6 a n 5 a n 4 a n 3 a n 2 a n 1 an 則a n 7 a1 n 7 1 1 a1 n 8a n 6 a1 n 6 1 1 a1 n 7a n 5 a1 n 5 1 1 a1 n 6a ...哪個數字是你幸運數字，你的幸運數字是幾？
蘋果的個數是梨的4倍。如果每天吃蘋果和梨，幾天後梨吃光，還剩十八蘋果，那麼梨和蘋果各有多
在正整數集內，證明任意數中必有兩個數的差是7的倍數