1樓：匿名使用者
都不是。
考察一般項：
ak=1/(1+2+...+k)=1/[k(k+1)/2]=2/[k(k+1)]=2[1/k-1/(k+1)]
sn=1 +1/(1+2)+...+1/(1+2+...+n)=2[1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/k-1/(k+1)]
=2[1-1/(k+1)]
=2k/(k+1)
2樓：匿名使用者
1+2+3+……+n=2(n+1)/2
1/(1+2+3+……+n)=2/n(n+1)=2/n -2/(n+1)
1+ 1/1+2+ 1/1+2+3 +1/1+2+3+4+……+ 1/1+2+3+4+....+n
=1+2/2×3+2/3×4+2/4×5+……+2/n(n+1)=1+2/2-2/3+2/3-2/4+2/4-……-2/n+2/n-2/(n+1)
=2-2/(n+1)
=2n/(n+1)
3樓：匿名使用者
其本身的通項公式為a(n+1)=1/1+2+3+4+....+n =2/(n^2+n)=2(1/n-1/(n+1))當然是裂項了
1+1/（1+2）+1/（1+2+3）+1/（1+2+3+4）+…+1/（1+2+3+…+100） 簡便計算方法和原理是什麼
4樓：曉曉江蘇
簡便計算方法：
1+2+3+...+n=n(n+1)/2
1/(1+2+3+...+n)=2/n(n+1)=2[1/n-1/(n+1)]
1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+......+1/(1+2+3+...+100)
=2[(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+......+(1/100-1/101)]
=2(1-1/101)
=200/101
它的原理是根據公式：1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
簡便計算是一種特殊的計算，它運用了運算定律與數字的基本性質，從而使計算簡便，使一個很複雜的式子變得很容易計算出得數。
性質減法1
a-b-c=a-(b+c)
減法2a-b-c=a-c-b
除法1a÷b÷c=a÷(b×c)
除法2a÷b÷c=a÷c÷b
典型例題
簡單210÷7÷6 1035-(497+235) 210÷（7×6）
1100÷25 2700÷25÷4 246-78+54
中等355+260+140+245 98×101 48×125 645-180-245
38×99+38 3500÷14÷5 175×56+25×56 50×25×20×40
高難度199999+19999+1999+199+19
999×718+333×666
參考資料
華夏熟人數碼科技公司.《奧數經典合集》.北京：北京中電電子出版，2005
5樓：徐子宇
1+ 1/1+2 + 1/1+ 2+3 + 1/ 1+2+3+4+........+1/1+2+3+4+.......+100
=2/1*2+2/2*3+2/3*4+.....+2/100*101=2(1/1*2+1/2*3+1/3*4+.....+1/100*101)
=2(1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+....+1/100-1/101)
=2(1-1/101)
=2*100/101
=200/101
6樓：灰機帝
1+2+3+...+n=n(n+1)/2
1/(1+2+3+...+n)=2/n(n+1)=2[1/n-1/(n+1)]
1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+......+1/(1+2+3+...+100)
=2[(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+......+(1/100-1/101)]
=2(1-1/101)
=200/101
原理就是1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
1+1/2+1/3+1/4+，，，，+1/n=公式
7樓：小肥肥啊
利用「尤拉公式」：1+1/2+1/3+……+1/n=ln(n)+c,c為尤拉常數 數值是0.5772。
則1+1/2+1/3+1/4+...+1/2007+1/2008=ln(2008)+c=8.1821（約） 。
就不出具體數字的，如果n=100那還可以求的，然而這個n趨近於無窮，所以算不出的。
具體證明過程如下：
首先我們可以知道實數包括有理數和無理數，而有理數又包括有限小數和無限迴圈小數，有理數都可以劃成兩個有限互質整數相除的形式（整數除外）。
而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n為無限大)通分以後的分子和分母都是無窮大，不是有限整數，且不能約分，所以它不屬於有理數，因此它是無理數。
擴充套件資料：
尤拉公式的驗證
( 1)當 r= 2時 ，由說明 1,這兩個區域可想象為 以赤道為邊界的兩個半球面 ，赤道上有兩個「頂點」 將赤道分成兩條「邊界」，即 r= 2，v= 2，e= 2；於是 r+ v- e= 2,尤拉定理成立.。
( 2)設 r= m(m≥ 2)時尤拉定理成立 ，下面證明 r= m+ 1時尤拉定理也成立 。
由說明 2，我們在 r= m+ 1的地圖上任選一個 區域 x ,則 x 必有與它如此相鄰的區域 y ，使得在 去掉 x 和 y 之間的唯一一條邊界後 ，地圖上只有 m 個區域了。
在去掉 x 和 y 之間的邊界後 ，若原該邊界兩端 的頂點現在都還是 3條或 3條以上邊界的頂點 ，則該頂點保留 ，同時其他的邊界數不變；若原該邊界一 端或兩端的頂點現在成為 2條邊界的頂點 。
則去掉該頂點 ,該頂點兩邊的兩條邊界便成為一條邊界 。於是 ,在去掉 x 和 y之間的唯一一條邊界時只有三種 情況：
①減少一個區域和一條邊界；
②減少一個區 域、一個頂點和兩條邊界；
③減少一個區域、兩個頂 點和三條邊界；
即在去掉 x 和 y 之間的邊界時 ,不 論何種情況都必定有「減少的區域數 + 減少的頂點數 = 減少的邊界數」我們將上述過程反過來 (即將 x 和 y之間去掉的邊 界又照原樣畫上 ) ，就又成為 r= m+ 1的地圖了 ，在 這一過程中必然是「增加的區域數 + 增加的頂點數 = 增加的邊界數」。
因此 ，若 r= m (m≥2)時尤拉定理成立 ，則 r= m+ 1時尤拉定理也成立.。
由 ( 1)和 ( 2)可知 ,對於任何正整數 r≥2,尤拉 定理成立。
柯西的證明
第一個尤拉公式的嚴格證明，由20歲的柯西給出，大致如下：
從多面體去掉一面，通過把去掉的面的邊互相拉遠，把所有剩下的面變成點和曲線的平面網路。不失一般性，可以假設變形的邊繼續保持為直線段。
正常的面不再是正常的多邊形即使開始的時候它們是正常的。但是，點，邊和麵的個數保持不變，和給定多面體的一樣(移去的面對應網路的外部。)
重複一系列可以簡化網路卻不改變其尤拉數（也是尤拉示性數）
的額外變換。
若有一個多邊形面有3條邊以上，我們劃一個對角線。這增加一條邊和一個面。繼續增加邊直到所有面都是三角形。
除掉只有一條邊和外部相鄰的三角形。這把邊和麵的個數各減一而保持頂點數不變。
（逐個）除去所有和網路外部共享兩條邊的三角形。這會減少一個頂點、兩條邊和一個面。
重複使用第2步和第3步直到只剩一個三角形。
推理證明
設想這個多面體是先有一個面，然後將其他各面一個接一個地添裝上去的.因為一共有f個面，因此要添(f-1)個面。
考察第ⅰ個面，設它是n邊形，有n個頂點，n條邊，這時e=v，即稜數等於頂點數。
添上第ⅱ個面後，因為一條稜與原來的稜重合，而且有兩個頂點和第ⅰ個面的兩個頂點重合，所以增加的稜數比增加的頂點數多1，因此，這時e=v+1。
以後每增添一個面，總是增加的稜數比增加的頂點數多1，例如
增添兩個面後，有關係e=v+2;
增添三個面後，有關係e=v+3;
……增添(f-2)個面後，有關係e=v+ (f-2)。
最後增添一個面後，就成為多面體，這時稜數和頂點數都沒有增加.因此，關係式仍為e=v+ (f-2)，即f+v=e+2，這個公式叫做尤拉公式，它表明2這個數是簡單多面體表面在連續變形下不變的數。
8樓：吳凱磊
隨後很長一段時間，人們無法使用公式去逼近調和級數，直到無窮級數理論逐步成熟。2023年牛頓在他的著名著作《流數法》中推匯出第一個冪級數：
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...
euler(尤拉)在2023年，利用newton的成果，首先獲得了調和級數有限多項和的值。結果是：
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1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r為常量)
他的證明是這樣的：
該式子為調和級數
ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...
根據newton的冪級數有：
ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...
於是：1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...
代入x=1,2,...,n，就給出：
1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...
1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...
......
1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...
相加，就得到：
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...
+1/n^3) + ......
後面那一串和都是收斂的，我們可以定義
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r
euler近似地計算了r的值，約為0.5772156649。這個數字就是後來稱作的尤拉常數。不過遺憾的是，我們對這個常量還知之甚少，連這個數是有理數還是無理數都還是個謎。
sn=1+1/2+1/3+1/4+......+1/n這個怎麼求和的？
9樓：假面
求不了，調和級數s=1+1/2+1/3+……是發散的，證明如下：
由於ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由於lim sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
所以sn的極限不存在，調和級數發散。
但極限s=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）卻存在，因為
sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由於lim sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
因此sn有下界
而sn-s(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0
所以sn單調遞減。由單調有界數列極限定理，可知sn必有極限，因此
s=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。
於是設這個數為γ，這個數就叫作尤拉常數，他的近似值約為0.57721566490153286060651209，目前還不知道它是有理數還是無理數。在微積分學中，尤拉常數γ有許多應用，如求某些數列的極限，某些收斂數項級數的和等。
例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞），可以這樣做：
lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2
擴充套件資料：
隨後很長一段時間，人們無法使用公式去逼近調和級數，直到無窮級數理論逐步成熟。2023年牛頓在他的著名著作《流數法》中推匯出第一個冪級數：
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...
euler(尤拉)在2023年，利用newton的成果，首先獲得了調和級數有限多項和的值。結果是：
1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r為常量)
他的證明是這樣的：
根據newton的冪級數有：
ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...
於是：1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...
代入x=1,2,...,n，就給出：
1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...
1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...
......
1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...
相加，就得到：
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...
+1/n^3) + ......
後面那一串和都是收斂的，我們可以定義
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r
euler近似地計算了r的值，約為0.5772156649。這個數字就是後來稱作的尤拉常數。
大一高數！為什麼nlim1x2n1x2n的極限
這個要看x的取值，若x取值在 1，那x 2n就趨於 分母也趨於無窮那1相對於x 2n 來說就是高階無窮小了可忽略，則極限為 1，同理x在 0，1 底數小於0，n趨近於 那麼x 2n趨近於0，x 2n相對於1來說就是高階無窮小，直接去掉，1 1 1 x 0,因此可設t x 原極限 lim n 1 t ...
高數 1 為什麼求極限時,只要求出N值就說證明完成了 2 兩個問題寫不下，補充裡還有個問題
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