奇異值分解svd
1樓：張三**
矩陣的奇異值分解（svd）是指，將一個非零的 實矩陣 , 表示為三個實矩陣相乘的形式：
其中， 是 階正交矩陣， 是 階正交矩陣， 是由降序排列的非負的對角線元素組成的 矩形對角矩陣， 滿足。
成稱為矩陣 的奇異值， 的列向量稱為左奇異向量， 的列向量稱為右奇異向量。
ps：奇異值分解不要求矩陣 是方陣，矩陣的奇異值分解可以看作是方陣對角化的推廣。
以上給出的奇異值分解又稱為完全奇異值分解，實際常用的是奇異值分解的緊湊形式和截斷形式。
設有 實矩陣 , 其秩為 :
緊奇異值分解
其中， 是 矩陣， 是 矩陣， 是 階對角矩陣；矩陣 由完全奇異值分解中 的前 列、矩陣 由 的前 列、矩陣 由 的前 個對角線元素組成。緊奇異值分解的對角矩陣 的秩與原始矩陣 的秩相等。
截斷奇異值分解
其中， ，是 矩陣， 是 矩陣， 是 階對角矩陣； 矩陣 由完全奇異值分解中 的前 列矩陣 由 的前 列、矩陣 由 的前 個對角線元素組成。對角矩陣 的秩比原始矩陣 的秩低。
1）設矩陣 的奇異值分解為 , 則以下關係成立：
2）矩陣 的奇異值分解中，左奇異向量，右奇異向量和奇異值存在一一對應的關係。
3）矩陣 的奇異值分解中，奇異值 是唯一的，而矩陣 和 不 是唯一的。
4）矩陣 和 的秩相等， 等於正奇異值 的個數 包含重複的奇異值，奇異值都是非負的)
5）矩陣 的 個右奇異向量 構成 的值域 的一組標準正交基。
從線性變換的角度理解奇異值分解：
矩陣 表示從 維空間 到 維 空間 的一個線性變換，和 分別是各自空間的向量。
奇異值分解可以看作， 將線性變換 轉換為三個簡單變換。 例如下圖， 給出了原始空間的標準正交基 (紅色與黃色)，經過座標系的旋轉變換 、座標軸的縮放變換 , 座標系的旋轉變換 ，得到和經過線性變換 等價的結果。
奇異值分解，奇異值分解matlab
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