1樓：雨說情感
如果aat=e（e為單位矩陣，at表示「矩陣a的轉置矩陣」）或ata=e，則n階實矩陣a稱為正交矩陣。
正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是屬於正規矩陣。儘管我們在這裡只考慮實數矩陣，但這個定義可用於其元素來自任何域的矩陣。
正交矩陣畢竟是從內積自然引出的，所以對於複數的矩陣這導致了歸一要求。正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復正交矩陣，這種復正交矩陣不是酉矩陣。
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正交矩陣的性質
1、正交矩陣一定是對實矩陣而言的。
2、正交矩陣不一定對稱。
3、正交矩陣的特徵值為正負1或者cos(t)+isin(t),換句話說特徵值的模長為1。
4、正交矩陣的行列式肯定是正負1,正1是叫第一類,負1時叫第二類。
5、對稱的正交矩陣不一定是對角的,只是滿足a'=a=a^,例如副對角線全為1,其餘元素都為零的那個方陣就是這種型別。
6、正交矩陣乘正交矩陣還是正交矩陣,但是正交矩陣相加相減不一定還是正交矩陣。
7、正交矩陣的每一個行(列)向量都是模為1的,並且任意兩個行(列)向量是正交的,即所有的行(列)向量組成r^n的一組標準正交基。
8、正交矩陣每個元素絕對值都小於等於1,如果有一個元素為1,那麼這個元素所在的行列的其餘元素一定都為零。
9、一個對稱矩陣,如果它的特徵值都為1或者-1,那麼這個矩陣一定是對稱的正交矩陣。
10、如果b是一個n維單位實列向量,則e_n-2bb'是一個對稱正交矩陣.因為e_n-2bb'的特徵值為1(n-1重),-1(1重),同時還是一個對陣矩陣。
2樓：匿名使用者
一個n階實矩陣u滿足：uu'=u'u=i，則這個n階實矩陣u叫做一個正交矩陣。
3樓：哆嗒數學網
a是一個n階方陣，a'是a的轉置
如果有 a'a=e (單位陣)，即a'=a逆
我們就說a是正交矩陣
4樓：
定義 1
n階實矩陣 a稱為正交矩陣，如果：a×a′=e（e為單位矩陣，a'表示「矩陣a的轉置矩陣」。） 若a為正交陣，則下列諸條件是等價的:
1) a 是正交矩陣
2) a×a′=e（e為單位矩陣）
3) a′是正交矩陣
4) a的各行是單位向量且兩兩正交
5) a的各列是單位向量且兩兩正交
6) (ax,ay)=(x,y) x,y∈r
什麼叫正交矩陣
5樓：兔老大米奇
正交矩陣是方塊矩陣，行向量和列向量皆為正交的單位向量。
行向量皆為正交的單位向量，任意兩行正交就是兩行點乘結果為0，而因為是單位向量，所以任意行點乘自己結果為1。
對於3x3正交矩陣，每行是一個3維向量，兩個3維向量正交的幾何意義就是這兩個向量相互垂直。
所以3x3正交矩陣的三行可以理解為一個3d座標系裡的三個座標軸，下面是3＊3正交矩陣m，
x1，x2，x3，／／x軸y1，y2，y3，／／y軸z1，z2，z3，／／z軸
單位矩陣表示的三個座標軸就是笛卡爾座標系裡的x，y，z軸：
1，0，0，／／x軸0，1，0，／／y軸0，0，1，／／z軸
一個向量乘以3x3正交矩陣的幾何意義就是把這個向量從當前座標系變換到這個矩陣所表示的座標系裡，比如下面的矩陣m1，
0，1，0，1，0，0，0，0，1，
一個向量（1，2，3）右乘這個矩陣m1得到新的向量（2，1，3），就是把原向量從原座標系變換到一個新的座標系。
新座標系的x軸在原座標系裡是（0，1，0），即落在原座標系的y軸上，
新座標系就是把原座標系的x和y軸對調，所以這個正交矩陣m1作用於向量（1，2，3）後把向量的x和y分量對調了。
正交矩陣的定義「行向量和列向量皆為正交的單位向量」帶來了另一個好處：正交矩陣的轉置就是正交矩陣的逆，比普通矩陣求逆矩陣簡單多了。
下面解釋一下為什麼正交矩陣的轉置就是正交矩陣的逆：
還是開頭說的正交矩陣m：
x1，x2，x3，／／rowxy1，y2，y3，／／rowyz1，z2，z3，／／rowz
每行都是單位長度向量，所以每行點乘自己的結果為1。
任意兩行正交就是兩行點乘結果為0。
矩陣m的轉置矩陣mt是：
x1，y1，z1，x2，y2，z2，x3，y3，z3，
兩個矩陣相乘mmul＝m＊mt：
rowx＊rowx，rowx＊rowy，rowx＊rowz，rowy＊rowx，rowy＊rowy，rowy＊rowz，rowz＊rowx，rowz＊rowy，rowz＊rowz，
點乘自己結果為1，點乘別的行結果為0，所以mmul等於單位矩陣
1，0，0，0，1，0，0，0，1，
逆矩陣的定義就是逆矩陣乘以原矩陣等於單位矩陣，所以，
正交矩陣的轉置就是正交矩陣的逆。
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正交矩陣定義：
如果：aa＇＝e（e為單位矩陣，a＇表示「矩陣a的轉置矩陣」．）或a′a＝e，則n階實矩陣a稱為正交矩陣，若a為單位正交陣，則滿足以下條件：1）a是正交矩陣。
判斷是正交矩陣的方法：
一般就是用定義來驗證，若aa' = i,則a為正交矩陣，也就是驗證每一行(或列)向量的模是否為1
任意兩行(或列)的內積是否為0。
6樓：惲海冬
正交矩陣是方塊矩陣，行向量和列向量皆為正交的單位向量。
如果aat=e（e為單位矩陣，at表示「矩陣a的轉置矩陣」）或ata=e，則n階實矩陣a稱為正交矩陣。正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是屬於正規矩陣。
儘管在這裡只考慮實數矩陣，但這個定義可用於其元素來自任何域的矩陣。正交矩陣畢竟是從內積自然引出的，所以對於複數的矩陣這導致了歸一要求。
正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復正交矩陣，這種復正交矩陣不是酉矩陣。
正交矩陣定義：
如果：aa＇＝e（e為單位矩陣，a＇表示「矩陣a的轉置矩陣」．）或a′a＝e，則n階實矩陣a稱為正交矩陣，若a為單位正交陣，則滿足以下條件：1）a是正交矩陣。
判斷是正交矩陣的方法：
一般就是用定義來驗證，若aa' = i,則a為正交矩陣，也就是驗證每一行(或列)向量的模是否為1
任意兩行(或列)的內積是否為0。
7樓：假面
如果aat=e（e為單位矩陣，at表示「矩陣a的轉置矩陣」）或ata=e，則n階實矩陣a稱為正交矩陣。
正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是屬於正規矩陣。儘管我們在這裡只考慮實數矩陣，但這個定義可用於其元素來自任何域的矩陣。正交矩陣畢竟是從內積自然引出的，所以對於複數的矩陣這導致了歸一要求。
實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復正交矩陣，這種復正交矩陣不是酉矩陣。
矩陣性質：
實數方塊矩陣是正交的，當且僅當它的列形成了帶有普通歐幾里得點積的歐幾里得空間r的正交規範基，它為真當且僅當它的行形成r的正交基。假設帶有正交(非正交規範)列的矩陣叫正交矩陣可能是誘人的，但是這種矩陣沒有特殊價值而沒有特殊名字；他們只是mm=d，d是對角矩陣。
任何正交矩陣的行列式是+1或−1。這可從關於行列式的如下基本事實得出：（注：反過來不是真的；有+1行列式不保證正交性，即使帶有正交列，可由下列反例證實。）
8樓：匿名使用者
正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是正規矩陣。儘管我們在這裡只考慮實數矩陣，這個定義可用於其元素來自任何域的矩陣。正交矩陣畢竟是從內積自然引出的，對於複數的矩陣這導致了歸一要求。
正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但是存在一種復正交矩陣，復正交矩陣不是酉矩陣。
如果：aa'=e（e為單位矩陣，a'表示「矩陣a的轉置矩陣」。）或a′a=e，則n階實矩陣a稱為正交矩陣， 若a為正交陣，則滿足以下條件:
1) at是正交矩陣
2)（e為單位矩陣）
3) a的各行是單位向量且兩兩正交
4) a的各列是單位向量且兩兩正交
5) (ax,ay)=(x,y) x,y∈r
6) |a| = 1或-1
正交矩陣通常用字母q表示。
舉例：a=[r11 r12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r33]
則有：r11^2+r21^2+r31^2=r12^2+r22^2+r32^2=r13^2+r23^2+r33^2=1
r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性質
9樓：匿名使用者
定義 1
n階實矩陣 a稱為正交矩陣，如果：a×a′=i則下列諸條件是等價的:
1) a 是正交矩陣
2) a×a′=i 為單位矩陣
3) a′是正交矩陣
4) a的各行是單位向量且兩兩正交
5) a的各列是單位向量且兩兩正交
6) (ax,ay)=(x,y) x,y∈r舉例：a=[r11 r12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r33]
則有：r11^2+r12^2+r13^2=r21^2+r22^2+r23^2=r31^2+r32^2+r33^2=1
r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性質以上定義中的a'表示「矩陣a的轉置矩陣」。
10樓：倪榮庫蘭澤
a乘以a的專置＝＝e，a就是正交矩陣
矩陣相互正交是什麼意思？
11樓：你的合夥人
矩陣相互正交是兩個向量正交，兩個向量正交是指它們的內積等於零，兩個向量的內積是它們對應分量的乘積之和。
在三維向量空間中， 兩個向量的內積如果是零， 那麼就說這兩個向量是正交的。正交最早出現於三維空間中的向量分析。 換句話說， 兩個向量正交意味著它們是相互垂直的。
若向量α與β正交，則記為α⊥β。
擴充套件資料因此，平日閱讀時需按照語境來區分文中所說的"向量"是哪一種概念。不過，依然可以找出一個向量空間的基來設定座標系，也可以透過選取恰當的定義，在向量空間上介定範數和內積，這允許我們把抽象意義上的向量類比為具體的幾何向量。
12樓：樸海鎮的嬌妻
a是一個n階方陣，a'是a的轉置，如果有 a'a=e (單位陣)，即a'=a逆，我們就說a是正交矩陣。
正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是正規矩陣。儘管我們在這裡只考慮實數矩陣，這個定義可用於其元素來自任何域的矩陣。正交矩陣畢竟是從內積自然引出的，對於複數的矩陣這導致了歸一要求。
正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但是存在一種復正交矩陣，復正交矩陣不是酉矩陣。
定義如果：aa'=e（e為單位矩陣，a'表示「矩陣a的轉置矩陣」。）或a′a=e，則n階實矩陣a稱為正交矩陣， 若a為正交陣，則滿足以下條件:
1) at是正交矩陣
2) （e為單位矩陣）
3) a的各行是單位向量且兩兩正交
4) a的各列是單位向量且兩兩正交
5) (ax,ay)=(x,y) x,y∈r
6) |a| = 1或-1
正交矩陣通常用字母q表示。
舉例：a=[r11 r12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r33]
則有：r11^2+r21^2+r31^2=r12^2+r22^2+r32^2=r13^2+r23^2+r33^2=1
r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性質
定理1. 方陣a正交的充要條件是a的行（列) 向量組是單位正交向量組；
2. 方陣a正交的充要條件是a的n個行（列)向量是n維向量空間的一組標準正交基；
3. a是正交矩陣的充要條件是：a的行向量組兩兩正交且都是單位向量；
4. a的列向量組也是正交單位向量組。
5. 正交方陣是歐氏空間中標準正交基到標準正交基的過渡矩陣。
在矩陣論中，實數正交矩陣是方塊矩陣q，它的轉置矩陣是它的逆矩陣，如果正交矩陣的行列式為 +1，則我們稱之為特殊正交矩陣
正交矩陣有什麼特點，正交矩陣有什麼特點？
1 逆也是正交陣 2 積也是正交陣 3 行列式的值為正1或負1。任何正交矩陣的行列式是 1或 1。這可從關於行列式的如下基本事實得出 注 反過來不是真的 有 1行列式不保證正交性，即使帶有正交列，可由下列反例證實。對於置換矩陣，行列式是 1還是 1匹配置換是偶還是奇的標誌，行列式是行的交替函式。比行...
若a為正交矩陣,求證aa,若A為正交矩陣,求證AA
a是正交矩陣 aa e a a 1由 aa e 得 aa e 所以 a a e 所以 a a e 即 a 也是正交矩陣 所以 a a 1 試證明 設a為n階實對稱矩陣,且a 2 a,則存在正交矩陣t,使得t 1at diag er,0 其中r為秩，er為r階單位矩陣 證明 a為實對稱矩陣，則幣可以對...
矩陣A為正交矩陣且A的行列式得值為負一,證明負一是A的特徵值
ax x x x x x x x ax ax x a ax x x所以 1 1 即a的所有特徵值為1或 1 若a的所有特徵值均為1，則 專a 1 2.n 1與 a 1矛盾屬 所以a至少有一個特徵值為 1 由已知,a e a aa t a e a t e a 所以 a e 0 所以 1 是a的特徵值 ...