1樓：網友
迴圈群是隻有乙個元素生成的群，它的結構平凡而簡單。
第乙個定理說明，每個階數（無論無限還是有限）的迴圈群只有一種。
證明很容易，其實就是說無限階時與n是一樣的，有限階時與modn的剩餘類群中的m是一樣的。
這個定理有點像拉格朗日定理的逆定理。已知子群，可以確定它的階是大群的階的因子，但是已知乙個因子，它有沒有乙個對應的子群呢？這個定理告訴我們，在迴圈群裡，它是肯定的。
肯定是單位元了，但是當存在這樣乙個a，使得|g|恰好是把a單位化的最小數，abel群g就成為了迴圈群。a單位化的最小正整數，我們一般稱之為階，它在數論中用途頗多。
這個定理我們將來還會用到，它是判定迴圈群的一大利器。
接下來我們研究迴圈群的自同構群。研究的方法雖然簡單，但卻抓住了本質。迴圈群最重要的是什知拍麼？
就是它的生成元。生成元在自同構下會怎麼樣？肯定還是生成元！
而自同構一定亂慎把生成元對映成生成元嗎？那也是肯定啊，要不然生成元無處可去。
有限階群比無限階群要複雜，我們要從他們的生成元起步。
接下來的表示不超過n且與n互譁猛敬素的正整陣列成集合，其上的乘法按照modn 定義，容易得到它是乙個群。
2樓：手機使用者
迴圈群是一種抽象的握團數學結構，它具有很多重要的碧皮握性質和應用。在數學領域中，研究迴圈群可以幫助我們更深入地理解抽象代數學的基本原理和結構。此外，在物理學、化學、工程學等應用領域中，迴圈群也有著廣泛的應用，例如在對稱悔慶性、週期性和旋轉對稱性等方面的研究中。
因此，研究迴圈群對於推動數學和其他科學領域的發展具有重要意義。
為什麼有限群都是迴圈群？
3樓：帳號已登出
因為a的1次到m＋1次這m＋1個元素都是g中的元素，而g中只有m個不相同的元素。
證明：群中的每乙個元素的階均不為且單位元是其中惟一的階為1的元素。因為任一階大於2的元素和它的逆元的階相等。
且當乙個元素的階大於2時，其逆元和它本身不相等。故階大於2的元素是成對的。從而階為1的元素與階大於2的元素個數之和是奇數。
因為該群的階是偶數，從而它一定有階為2的元素。
怎麼證迴圈群的子群還是迴圈群
4樓：青州吧使者
若 g = 為迴圈群，則任何 g 中的元素 a，均可表示為 a = g^n，其中 ，g 為 g 的生成元，n 為某個正整數。
因此，若 h 是 g 的子群，則對任何 h 中的元素 h，也有 h = g^k 的形式，其中 ，g 為 g 的生成元，k 為某個正整數。
不妨設 k=m>0 是滿足 g^k 屬於 h 的最兆逗小正整數，下面證明 h =
1) 顯然，由於子群滿足運算的封閉性，因此(g^m)^k 都是 h 的元素，即h 包含
2) 假設存在 h 中的某個元素 h = g^n 其中正整數 n 不能被 m 整除（即 h 不能表示成 (g^m)^k），不妨設 n = km +r，其中 r < m 為正整數，則該式唯一確定；
由於 h 是群，因此對於元素 g^m，h 中有其逆元 g^(-m)；
對上述 h = g^n = g^(km +r)，乘以 k 次 g^(-m)，亂旅由群的封閉性，結果仍屬於 h，即。
h * g^(-km) =g^(km +r) *族陪賣g^(-km) =g^r 屬於 h；
由於 r < m，這說明我們找到了乙個比 m 更小的正整數 r，滿足 g^r 屬於 h，這與前提矛盾，即由反證法，得證h 中的任意元素均可表示成 g^(km)，即 包含 h
綜上，h =
怎麼證迴圈群的子群還是迴圈群？
5樓：網友
設g為迴圈群，那麼g有生成元x,使得任何非單位元g屬於g,均存在最小的正整數。
n,滿足g=x^n。
因此若h是g的子群，其任何元素非單位元h,均有h=x^n的形式。
不妨設d>0是滿足x^d屬於h的最小整數。我們下面證明x^d是h的生成元。
任取x^a屬於h(a>0).
則x^(am+tn)=(x^a)^m*(x^t)^n屬於h。
由euclid輾轉相除法。
知，存在m,n使得：
am+dn=(a,d)>0,這表明x^((a,d))屬於h,因為a=a1*(a,d),d=d1*(a,d),所以x^a,x^d可由x^((a,d))生成。
因此(a,d)<=d.由於d是最小的故(a,d)=d.
又x^a是在h中任意取的非單位元。
故h中的任何元素均可由x^d生成。即h中的非單位元均是形如x^(dn)形式。故h是迴圈群。
6樓：
若 g = 為迴圈群，則任何 g 中的元素 a，均可表示為 a = g^n，其中 ，g 為 g 的生成元，n 為某個正整數。
因此，若 h 是 g 的子群，則對任何 h 中的元素 h，也有 h = g^k 的形式，其中 ，g 為 g 的生成元，k 為某個正整數。
不妨設 k=m>0 是滿足 g^k 屬於 h 的最小正整數，下面證明 h = ：
1) 顯然，由於子群滿足運算的封閉性，因此(g^m)^k 都是 h 的元素，即h 包含
2) 假設存在 h 中的某個元素 h = g^n 其中正整數 n 不能被 m 整除（即 h 不能表示成 (g^m)^k），不妨設 n = km +r，其中 r < m 為正整數，則該式唯一確定；
由於 h 是群，因此對於元素 g^m，h 中有其逆元 g^(-m)；
對上述 h = g^n = g^(km +r)，乘以 k 次 g^(-m)，由群的封閉性，結果仍屬於 h，即。
h * g^(-km) = g^(km +r) *g^(-km) = g^r 屬於 h；
由於 r < m，這說明我們找到了乙個比 m 更小的正整數 r，滿足 g^r 屬於 h，這與前提矛盾，即由反證法，得證h 中的任意元素均可表示成 g^(km)，即 包含 h
綜上，h = .
迴圈群的定義
7樓：一零啞劇
定義 迴圈群 若由群g的乙個坦攔禪生成元衡伏素g的冪次構成g群，即g=則稱讓塵g為迴圈群。元素g稱為g的生成元素。
階迴圈群中，階為n的元素稱為n次單位原根。
記做g=。顯然n=p時，有p-1個單位原根。一般有φ（n）個單位原根。
總之，設g是由元素a生成的n階的迴圈群，則g的子群h有：
1 ，若m|n，由a的m次方生成的迴圈群h是g的子群。
2 ，h的階為n/m。
3 ，對於整數m滿足m|n，g必存在階數為n/m的子群。
迴圈群的定理
8樓：後振英霍申
任何一腔肢肆個迴圈群，必是阿貝爾群。
對於有限迴圈群，有下面的定理：
n階迴圈群中，階為n的元素稱為n次單位原根。記做g=。
顯然n=p時，有p-1個單位原根。一般有φ（n）個單位原根。
總之，設g是由元素a生成的n階的迴圈群，伍轎則g的子群h有：
若m|n，由a的m次方生成的迴圈群飢好h是g的子群。
h的階為n/m。
對於整數m滿足m|n，g必存在階數為n/m的子群。
迴圈群有什麼用
9樓：止雨乾惜玉
迴圈群是—種很重要的群，也是目前已被完全解決了的—類群。其定義為若—個群g的每—個元都是g的某—個固定元a的乘方，則稱g為迴圈群，記作g=(a)，a稱為g的—個生成元。迴圈群有無階迴圈群和鬧舉彎有階迴圈群兩種型別。
1]中文名。迴圈群。
外文名答散。
cyclic
group型別。
無階迴圈群、有階循液悶環群。
定義。若—個群g的每—個元都是g的某—個固定元a的乘方，則稱g為迴圈群，記作g=(a)=，a稱為g的—個生成元。
特別地，如果g的代數運算採用加號表示時，則有。
a)=性質。
定理1設(a)是—個迴圈群，1)若|a|=∞則(a)與整數**z同構；
2)若iai=n，則(a)與模n的剩餘類**zn
迴圈群和迴圈環的區別，為什麼有限群都是迴圈群？
迴圈粗銀群 英文 cyclic group 是指能由單個元素所生成的群。有限迴圈群巖態宴同構於整數同餘加法群z z，無限迴圈群則同構於整數加法群。每個迴圈群都是阿貝爾群，亦即其運算是可交換的。在群論中，迴圈群的性質已經被研究的較為透徹，是更為複雜的代數研究中常用到的基礎工具。設r是有單位元的環 我們...
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