1樓：孤獨患者°儅夏
狄拉克δ函式是一個廣義函式，在物理學中常用其表示質點、點電荷等理想模型的密度分佈，該函式在除了零以外的點取值都等於零，而其在整個定義域上的積分等於1。
狄拉克δ函式
2樓：中地數媒
8.1.1δ 函式的定義
我們知道，一般函式的定義是對於自變數x的每一個值，都有特定函式值f（x）與之對應，f（x）稱為在點x處的函式值。然而，這裡我們要討論的δ函式不是這種通常意義下的函式，因為它沒有通常意義下的「函式值」；它的運算作用只有出現在積分號裡才能體現出來，它是某種複雜極限過程的簡化符號，是廣義函式的一種。
所謂狄拉克δ函式是這樣一個算符δ（x），它使得對任何在x=0點連續的函式f（x），有下式成立：
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為理解δ（x），對h＞0引進如下函式序列
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由積分中值定理可知，存在ξ且｜ξ｜＜
，使得有
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於是得到：
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由此可以直觀地知道，由嚴格的理論也可以證明，δ（x）是δh（x）在某種意義下的極限。因為
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故可將δ（x）粗糙地理解為滿足
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的一個較通常函式意義更廣的「函式」，（8.1.3）式是（8.1.1）式令f≡1而得到的。
物理上常用δ函式來描述集中分佈的量，如集中質量、集中電荷等，設在x軸上有一單位質量集中在原點，用δ（x）表示密度分佈函式，則在x≠0時，δ（x）=0。如果取δ（x）=c為有限常數，δ（x）便是一個通常意義下的分段連續函式，按照一般的積分計算有
δ（x）dx=0，即總質量為零，這與假設直線上具有單位質量相矛盾。故不能取δ（0）等於有限常數。事實上，若在x軸上取δl為包含原點的區間段，δm為該段總的質量，則密度應為：
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由此可見，這裡引入δ函式恰好描述了集中質量問題。在電法勘探問題中，δ函式就恰好描述點源的電荷（或電流）密度。
上面我們定義了一維且奇點在x=0處的δ函式，對n維且奇點在任意點（
、 ，…，
）的δ函式可類似地定義，即它是這樣一個算符δ（x1-
）δ（x2-
）…δ（xn-
），使得對任何在點（
， ，…，
）連續的函式f（x1，x2，…，xn），有
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成立，特別當取n=1，x1=x，
=0時，則得到（8.1.1）式。實際上n維δ函式可寫成n個一維δ函式的乘積的形式。同樣它還應滿足：
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本書中只涉及二維或三維的δ函式。
對於一個有限的研究域，關於δ函式，我們還能給出下面常用結果，例如以二維情況為例：
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式中d為一個二維區域，f（x1，x2）在（
， ）處連續，在第二個等式中，要求d的邊界γ在奇點（
， ）附近是光滑的，特殊情況，當f=1時，可得：
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現在給出（8.1.7）式的一個直觀證明，當x0=（
， ）在d外，由（8.1.5）式知δ在d及其邊界上恆為零，這時（8.
1.7）式左部可理解為零函式在通常意義下的積分，其積分值為零，當x0在d內時，這時δ在d的邊界和外部恆為零，於是在這些部分的積分也為零，故
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圖8.1 d∩b的二維幾何表示
從而由（8.1.4）式可知（8.
1.7）式中第三等式成立，對於奇點x0在區域邊界γ的情況，令b（x0，ε）是以x0為圓心、ε為半徑的開圓（在一維情況是開區間，三維情況下是不含球面的球體，n維情況下為n維開球），注意到δ在b（x0，ε）的外部和邊界上為零，知
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式中d∩b表示d域和b圓重合的部分，即圖8.1中陰影部分，另外有
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因為γ在x0附近光滑，故當ε趨於零時，d∩b域趨於半圓，這樣，由以上兩式有
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這便是（8.1.7）式中的第二等式。
8.1.2δ 函式的性質及其傅氏變換
對於一維情況，給出δ函式的一些常用性質及其傅氏變換，均設f（x）在奇點處連續。由（8.1.7）式有
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另外，設α1、α2為常數，δ函式對加法運算是線性的。
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對於任何在x0處連續的函式f（x），有
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上式稱為δ函式的篩選性質。由於
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可知地球物理資料處理教程
由於地球物理資料處理教程
故有δ（x）f（x）=δ（x）f（0） （8.1.14）
或同樣δ（x-x0）f（x）=δ（x-x0）f（x0） （8.1.15）
如果（8.1.14）式中取f（x）=x，得
xδ（x）=0 （8.1.16）
若取f（x）在區間（-∞，α）（α為正數）外等於零，那麼f（0）=0，於是
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由此推知
δ（x）=0 x ＜ 0 （8.1.17）
同理可得
δ（x）=0 x＞0 （8.1.18）
這便是（8.1.2）式的由來。
兩個δ函式的褶積由下式確定。
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於是地球物理資料處理教程
下面我們給出δ函式的傅氏變換，根據δ函式的定義（8.1.1）式有
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反過來，數學上可以證明
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即是說δ（x）與1組成傅氏變換對，由（8.1.10）式設f（x）=cosωx，可得δ的餘弦變換為
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狄拉克δ函式的定義
3樓：妙妙恄
物理學中常常要研究一個物理量在空間或時間中分佈的密度，例如質量密度、電荷密度、每單位時間傳遞的動量（即力）等等，但是物理學中又常用到質點、點電荷、瞬時力等抽象模型，他們不是連續分佈於空間或時間中，而是集中在空間中的某一點或者時間中的某一瞬時，那麼它們的密度應該如何表示呢？ 為了在數學上理想地表示出這種密度分佈，引入了δ函式的概念。在概念上，它是這麼一個「函式」：
在除了零以外的點函式值都等於零，而其在整個定義域上的積分等於1。用數學表示為：
上述表示式不規定δ函式在0點的取值，是因為這個值無法嚴謹地表述出來，不能籠統的定義為正無窮，並且函式取值的「大小」是由第二個積分式決定的，因此只需限定取值為零的區域即可 。如果函式不在0點取非零值，而在其他地方，可定義
其中h(x)稱為階躍函式或亥維賽單位函式：
可以證明兩種定義是等價的。從第二個定義中，可以看到δ函式可以通過對階躍函式取微分得到，實際上，只要我們對一個不連續函式取微分，就會出現δ函式 。
狄拉克δ函式的多維δ函式
4樓：手機使用者
在多維空間中的δ函式定義如下
例如在三維空間中，三維δ函式可表示為三個一維δ函式乘積表示，在直角座標系中
在極座標系中
在球座標系中
多維的δ函式主要性質
δ函式可以表示如下 ：
關於狄拉克δ函式的疑問
5樓：黃梓旻
可以證明任何除一點外均處處為零的實
函式從正無窮到負無窮的廣義積分的值為零，也就是說滿足dirac函式的條件的函式事實上並不存在，因此它不是通常意義上的函式，雖然可以像普通的函式一樣對其進行各種運算。
它可以看成分佈（正如概率論中的概率密度函式），也是測度，也是廣義函式。廣義函式通常定義為函式空間上的連續線性泛函。簡單地說，廣義函式是「某些函式的連續線性函式」。
從這個意義上說，你說的定義域是「函式」。
6樓：匿名使用者
關於狄拉克δ函式的疑問:
δ（x）= ∞ x = 0 時δ（x）= 0 x ≠ 0 時且∫ (x:-∞-> ∞ ) δ（x）dx = 1它的定義域是r。這個函式確實很怪，在0點處值無窮大，但"總強度"卻等於1。
所以工程上也叫單位脈衝函式。自然界也確實存在與δ函式特徵相類似的現象：1，一道極強的閃電，瞬間電壓幾乎是無窮大（∞ ），離開這一刻就消失了（0），但是總強度是有限的（積分是有限值）。
這類現象經科學家一抽象，就引出了狄拉克δ函式。2，另外的一個例子：如材料力學中常見的集中載荷問題，集中載荷被認為是作用在一個點上的，一個點上作用一個力那麼壓強幾乎為無窮大，可力是有限的，總強度是有限的，這又是一個與δ函式有關的問題。
如果用微分方程解彈性樑的變形曲線，那麼集中載荷可表成：pδ（x-x1），它的意思是在樑x1點處作用一個集中載荷p：其總強度 ∫ (x:
-∞-> ∞ ) pδ（x-x0）dx = p。 數學家研究出有關δ函式的運算方法，使得許多問題迎刃而解！在自動控制系統中，給系統輸入δ(t)函式，那麼系統的響應叫作脈衝響應函式h(t)，有了
h(t)系統對任意輸入x(t)的響應y(t)等於h(t)與x(t)的卷積：y(t) = h(t)*x(t)。δ（x）因與常規函式不同列為廣義函式，專門研究其理論，方法和應用。
狄拉克δ函式的性質
7樓：若兒礦韃憍
狄拉克δ函式有以下性質 ，在理解這些性質的時候，應該認為等式兩邊分別作為被積函式的因子時得到的結果相等 偶函式，其導數是奇函式
放縮（或相似性）
這種性質稱為挑選性，它將 在 點的值 挑選出來上述性質則可看成適用於高階導數的挑選性。 如果方程 的實根 全是單根，則
該等式的含義為，若將δ函式作用在一個函式上，則會把函式的實根挑選出來，其左邊表示在函式 為零時會取非零值，右邊表示在 處，會取得非零值，並且取值「大小」，或者說在積分中的作用大小與δ函式的比值是函式在 處導數的絕對值的倒數。通過這一性質可以得到一些具體的等式，如
以及這個性質說明δ函式與x的乘積在積分中與0的作用是相同的。
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