1樓：匿名使用者
先求出a的特徵值，然後得到與a相似的對角陣λ，同時求出屬於各特徵值的線性無關的特徵向量，拼成可逆矩陣p，則p^(-1)ap=λ，可得a=pλp^(-1)，則a^100=pλ^100p^(-1)
線性代數的解題方法和運算方法
2樓：快樂一家
1、行列式
1. 行列式共有 個元素，後有 項，可分解為 行列式；
2. 代數餘子式的性質：
①、 和 的大小無關；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數餘子式為0；
③、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數餘子式為 ；
3. 代數餘子式和餘子式的關係：
4. 設 行列式 ：
將 上、下翻轉或左右翻轉，所得行列式為 ，則 ；
將 順時針或逆時針旋轉 ，所得行列式為 ，則 ；
將 主對角線翻轉後**置），所得行列式為 ，則 ；
將 主副角線翻轉後，所得行列式為 ，則 ；
5. 行列式的重要公式：
①、主對角行列式：主對角元素的乘積；
②、副對角行列式：副對角元素的乘積 ；
③、上、下三角行列式（ ）：主對角元素的乘積；
④、 和 ：副對角元素的乘積 ；
⑤、拉普拉斯式： 、
⑥、範德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積；
⑦、特徵值；
6. 對於 階行列式 ，恆有： ，其中 為 階主子式；
7. 證明 的方法：
①、 ；
②、反證法；
③、構造齊次方程組 ，證明其有非零解；
④、利用秩，證明 ；
⑤、證明0是其特徵值；
2、矩陣
1. 是 階可逆矩陣：
（是非奇異矩陣）；
（是滿秩矩陣）
的行（列）向量組線性無關；
齊次方程組 有非零解；
， 總有唯一解；
與 等價；
可表示成若干個初等矩陣的乘積；
的特徵值全不為0；
是正定矩陣；
的行（列）向量組是 的一組基；
是 中某兩組基的過渡矩陣；
2. 對於 階矩陣 ： 無條件恆成立；
3.4. 矩陣是**，推導符號為波浪號或箭頭；行列式是數值，可求代數和；
5. 關於分塊矩陣的重要結論，其中均 、 可逆：
若 ，則：
ⅰ、 ；
ⅱ、 ；
②、 ；（主對角分塊）
③、 ；（副對角分塊）
④、 ；（拉普拉斯）
⑤、 ；（拉普拉斯）
3、矩陣的初等變換與線性方程組
1. 一個 矩陣 ，總可經過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的： ；
等價類：所有與 等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣；
對於同型矩陣 、 ，若 ；
2. 行最簡形矩陣：
①、只能通過初等行變換獲得；
②、每行首個非0元素必須為1；
③、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0；
3. 初等行變換的應用：（初等列變換類似，或轉置後採用初等行變換）
①、 若 ，則 可逆，且 ；
②、對矩陣 做初等行變化，當 變為 時， 就變成 ，即： ；
③、求解線形方程組：對於 個未知數 個方程 ，如果 ，則 可逆，且 ；
4. 初等矩陣和對角矩陣的概念：
①、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；
②、 ，左乘矩陣 ， 乘 的各行元素；右乘， 乘 的各列元素；
③、對調兩行或兩列，符號 ，且 ，例如： ；
④、倍乘某行或某列，符號 ，且 ，例如： ；
⑤、倍加某行或某列，符號 ,且 ，如： ；
5. 矩陣秩的基本性質：
①、 ；
②、 ；
③、若 ，則 ；
④、若 、 可逆，則 ；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）
⑤、 ；（※）
⑥、 ；（※）
⑦、 ；（※）
⑧、如果 是 矩陣， 是 矩陣，且 ，則：（※）
ⅰ、 的列向量全部是齊次方程組 解**置運算後的結論）；
ⅱ、 ⑨、若 、 均為 階方陣，則 ；
6. 三種特殊矩陣的方冪：
①、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量） 行矩陣（向量）的形式，再採用結合律；
②、型如 的矩陣：利用二項式；
二項式： ；
注：ⅰ、 後有 項；
ⅱ、 ⅲ、組合的性質： ；
③、利用特徵值和相似對角化：
7. 伴隨矩陣：
①、伴隨矩陣的秩： ；
②、伴隨矩陣的特徵值： ；
③、 、
8. 關於 矩陣秩的描述：
①、 ， 中有 階子式不為0， 階子式全部為0；（兩句話）
②、 ， 中有 階子式全部為0；
③、 ， 中有 階子式不為0；
9. 線性方程組： ，其中 為 矩陣，則：
①、 與方程的個數相同，即方程組 有 個方程；
②、 與方程組得未知數個數相同，方程組 為 元方程；
10. 線性方程組 的求解：
①、對增廣矩陣 進行初等行變換（只能使用初等行變換）；
②、齊次解為對應齊次方程組的解；
③、特解：自由變數賦初值後求得；
11. 由 個未知數 個方程的方程組構成 元線性方程：
①、 ；
②、 （向量方程， 為 矩陣， 個方程， 個未知數）
③、 （全部按列分塊，其中 ）；
④、 （線性表出）
⑤、有解的充要條件： （ 為未知數的個數或維數）
4、向量組的線性相關性
1. 個 維列向量所組成的向量組 ： 構成 矩陣 ；
個 維行向量所組成的向量組 ： 構成 矩陣 ；
含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應；
2. ①、向量組的線性相關、無關 有、無非零解；（齊次線性方程組）
②、向量的線性表出 是否有解；（線性方程組）
③、向量組的相互線性表示 是否有解；（矩陣方程）
3. 矩陣 與 行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組 和 同解；( 例14)
4. ；( 例15)
5. 維向量線性相關的幾何意義：
①、 線性相關 ；
②、 線性相關 座標成比例或共線（平行）；
③、 線性相關 共面；
6. 線性相關與無關的兩套定理：
若 線性相關，則 必線性相關；
若 線性無關，則 必線性無關；（向量的個數加加減減，二者為對偶）
若 維向量組 的每個向量上添上 個分量，構成 維向量組 ：
若 線性無關，則 也線性無關；反之若 線性相關，則 也線性相關；（向量組的維數加加減減）
簡言之：無關組延長後仍無關，反之，不確定；
7. 向量組 （個數為 ）能由向量組 （個數為 ）線性表示，且 線性無關，則 (二版 定理7)；
向量組 能由向量組 線性表示，則 ；（ 定理3）
向量組 能由向量組 線性表示
有解；（ 定理2）
向量組 能由向量組 等價 （ 定理2推論）
8. 方陣 可逆 存在有限個初等矩陣 ，使 ；
①、矩陣行等價： （左乘， 可逆） 與 同解
②、矩陣列等價： （右乘， 可逆）；
③、矩陣等價： （ 、 可逆）；
9. 對於矩陣 與 ：
①、若 與 行等價，則 與 的行秩相等；
②、若 與 行等價，則 與 同解，且 與 的任何對應的列向量組具有相同的線性相關性；
③、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；
④、矩陣 的行秩等於列秩；
10. 若 ，則：
①、 的列向量組能由 的列向量組線性表示， 為係數矩陣；
②、 的行向量組能由 的行向量組線性表示， 為係數矩陣；**置）
11. 齊次方程組 的解一定是 的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；
①、 只有零解 只有零解；
②、 有非零解 一定存在非零解；
12. 設向量組 可由向量組 線性表示為：（ 題19結論）
（ ）其中 為 ，且 線性無關，則 組線性無關 ；（ 與 的列向量組具有相同線性相關性）
（必要性： ；充分性：反證法）
注：當 時， 為方陣，可當作定理使用；
13. ①、對矩陣 ，存在 ， 、 的列向量線性無關；（ ）
②、對矩陣 ，存在 ， 、 的行向量線性無關；
14. 線性相關
存在一組不全為0的數 ，使得 成立；（定義）
有非零解，即 有非零解；
，係數矩陣的秩小於未知數的個數；
15. 設 的矩陣 的秩為 ，則 元齊次線性方程組 的解集 的秩為： ；
16. 若 為 的一個解， 為 的一個基礎解系，則 線性無關；（ 題33結論）
5、相似矩陣和二次型
1. 正交矩陣 或 （定義），性質：
①、 的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即 ；
②、若 為正交矩陣，則 也為正交陣，且 ；
③、若 、 正交陣，則 也是正交陣；
注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化；
2. 施密特正交化： ；;
3. 對於普通方陣，不同特徵值對應的特徵向量線性無關；
對於實對稱陣，不同特徵值對應的特徵向量正交；
4. ①、 與 等價 經過初等變換得到 ；
， 、 可逆；
， 、 同型；
②、 與 合同 ，其中可逆；
與 有相同的正、負慣性指數；
③、 與 相似 ；
5. 相似一定合同、合同未必相似；
若 為正交矩陣，則 ，（合同、相似的約束條件不同，相似的更嚴格）；
6. 為對稱陣，則 為二次型矩陣；
7. 元二次型 為正定：
的正慣性指數為 ；
與 合同，即存在可逆矩陣 ，使 ；
的所有特徵值均為正數；
的各階順序主子式均大於0；
；(必要條件)
線性代數，二次型，求詳細步驟，或者解題思路
3樓：風火輪
二次型化標準形通常有配方法、正交變換法兩種。
配方法就是直接配方成所有完全平方式形式，然後再代換成標準形。
正交變換法，將二次型矩陣a寫出來，然後令特徵多項式|λe-a|=0，求解特徵值λ和對應的特徵向量ξ，通過施密特正交化將所有ξ正交化成α，再單位化成α0，就可以得到正交變換矩陣q，q^t·a·q=λ可以得到標準形。
線性代數有什麼學習技巧麼？
4樓：518姚峰峰
一、線性代數（linear algebra）是數學的一個分支，它的研究物件是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現代數學的一個重要課題；因而，線性代數被廣泛地應用於抽象代數和泛函分析中；通過解析幾何，線性代數得以被具體表示。線性代數的理論已被泛化為運算元理論。
由於科學研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型，使得線性代數被廣泛地應用於自然科學和社會科學中。線性代數是理工類、經管類數學課程的重要內容。在考研中的比重一般佔到22%左右。
二、技巧及方法
1、注重對基本概念的理解與把握，正確熟練運用基本方法及基本運算。
線性代數的概念很多，重要的有：
代數餘子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩(矩陣、向量組、二次型)，等價(矩陣、向量組)，線性組合與線性表出，線性相關與線性無關，極大線性無關組，基礎解系與通解，解的結構與解空間，特徵值與特徵向量，相似與相似對角化，二次型的標準形與規範形，正定，合同變換與合同矩陣。
往年常有考生沒有準確把握住概念的內涵，也沒有注意相關概念之間的區別與聯絡，導致做題時出現錯誤。
例如，矩陣a＝(α1，α2，…，αm)與b＝(β1，β2…，βm)等價，意味著經過初等變換可由a得到b，要做到這一點，關鍵是看秩r(a)與r(b)是否相等，而向量組α1，α2，…αm與β1，β2，…βm等價，說明這兩個向量組可以互相線性表出，因而它們有相同的秩，但是向量組有相同的秩時，並不能保證它們必能互相線性表現，也就得不出向量組等價的資訊，因此，由向量組α1，α2，…αm與β1，β2，…βm等價，可知矩陣a＝(α1，α2，…αm)與b＝(β1，β2，…βm)等價，但矩陣a與b等價並不能保證這兩個向量組等價。
又如，實對稱矩陣a與b合同，即存在可逆矩陣c使ctac＝b，要實現這一點，關鍵是二次型xtax與xtbx的正、負慣性指數是否相同，而a與b相似是指有可逆矩陣p使p-1ap＝b成立，進而知a與b有相同的特徵值，如果特徵值相同可知正、負慣性指數相同，但正負慣性指數相同時，並不能保證特徵值相同，因此，實對稱矩陣a～bab，即相似是合同的充分條件。
線性代數中運演算法則多，應整理清楚不要混淆，基本運算與基本方法要過關，重要的有：
行列式(數字型、字母型)的計算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關組，線性相關的判定或求引數，求基礎解系，求非齊次線性方程組的通解，求特徵值與特徵向量(定義法，特徵多項式基礎解系法)，判斷與求相似對角矩陣，用正交變換化實對稱矩陣為對角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標準形)。
2、注重知識點的銜接與轉換，知識要成網，努力提高綜合分析能力。
線性代數從內容上看縱橫交錯，前後聯絡緊密，環環相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，複習時應當常問自己做得對不對？再問做得好不好？只有不斷地歸納總結，努力搞清內在聯絡，使所學知識融會貫通，介面與切入點多了，熟悉了，思路自然就開闊了。
例如：設a是m×n矩陣，b是n×s矩陣，且ab＝0，那麼用分塊矩陣可知b的列向量都是齊次方程組ax＝0的解，再根據基礎解系的理論以及矩陣的秩與向量組秩的關係，可以有
r(b)≤n-r(a)即r(a)＋r(b)≤n
進而可求矩陣a或b中的一些引數
再如，若a是n階矩陣可以相似對角化，那麼，用分塊矩陣處理p-1ap＝∧可知a有n個線性無關的特徵向量，p就是由a的線性無關的特徵向量所構成，再由特徵向量與基礎解系間的聯絡可知此時若λi是ni重特徵值，則齊次方程組(λie-a)x＝0的基礎解系由ni個解向量組成，進而可知秩r(λie-a)＝n-ni，那麼，如果a不能相似對角化，則a的特徵值必有重根且有特徵值λi使秩r(λie-a)＜n-ni，若a是實對稱矩陣，則因a必能相似對角化而知對每個特徵值λi必有r(λie-a)＝n-ni，此時還可以利用正交性通過正交矩陣來實現相似對角化。
又比如，對於n階行列式我們知道：
若｜a｜＝0，則ax＝0必有非零解，而ax＝b沒有惟一解(可能有無窮多解，也可能無解)，而當｜a｜≠0時，可用克萊姆法則求ax＝b的惟一解；
可用｜a｜證明矩陣a是否可逆，並在可逆時通過伴隨矩陣來求a-1；
對於n個n維向量α1，α2，…αn可以利用行列式｜a｜＝｜α1α2…αn｜是否為零來判斷向量組的線性相關性；
矩陣a的秩r(a)是用a中非零子式的最高階數來定義的，若r(a)＜r，則a中r階子式全為0；
求矩陣a的特徵值，可以通過計算行列式｜λe-a｜，若λ＝λ0是a的特徵值，則行列式｜λ0e-a｜＝0；
判斷二次型xtax的正定性，可以用順序主子式全大於零。
凡此種種，正是因為線性代數各知識點之間有著千絲萬縷的聯絡，代數題的綜合性與靈活性就較大，同學們整理時要注重串聯、銜接與轉換。
3、注重邏輯性與敘述表述
線性代數對於抽象性與邏輯性有較高的要求，通過證明題可以瞭解考生對數學主要原理、定理的理解與掌握程度，考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家複習整理時，應當搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時還應注意語言的敘述表達應準確、簡明。
線性代數求高手解題,線性代數。求解析！急！
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