1樓：好不點
初一奧賽自測題
自測題一
甲多開支100元，三年後負
債600元．求每人每年收入多少？
s的末四位數字的和是多少？
4．一個人以3千米/小時的速度上坡，以6千米/小時的速度下坡，行程12千米共用了3小時20分鐘，試求上坡與下坡的路程．
5．求和
6．證明：質數p除以30所得的餘數一定不是合數．
8．若兩個整數x，y使x2+xy+y2能被9整除，證明：x和y能被3整除．
9．如圖1－95所示．在四邊形abcd中，對角線ac，bd的中點為m，n，mn的延長線與ab邊交於p點．求證：△pcd的面積等於四邊形abcd的面積的一半．
自測題二
1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值．
2．某商店**的一種商品，每天賣出100件，每件可獲利4元，現在他們採用提高售價、減少進貨量的辦法增加利潤，根據經驗，這種商品每漲價1元，每天就少賣出10件．試問將每件商品提價多少元，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少元？
3．如圖1－96所示．已知cb⊥ab，ce平分∠bcd，de平分∠cda，∠1＋∠2=90°．求證：
da⊥ab．
4．已知方程組
的解應為
一個學生解題時把c抄錯了，因此得到的解為
求a2＋b2＋c2的值．
5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整數解．
6．王平買了年利率7.11％的三年期和年利率為7.86％的五年期國庫券共35000元，若三年期國庫券到期後，把本息再連續存兩個一年期的定期儲蓄，五年後與五年期國庫券的本息總和為47761元，問王平買三年期與五年期國庫券各多少？
(已知一年期定期儲蓄年利率為5.22％)
7．對k，m的哪些值，方程組
至少有一組解？
8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整數解．
9．小王用5元錢買40個水果招待五位朋友．水果有蘋果、梨子和杏子三種，每個的**分別為20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到蘋果，並且各人得到的蘋果數目互不相同，試問他能否實現自己的願望？
自測題三
1．解關於x的方程
2．解方程
其中a＋b＋c≠0．
3．求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的式中各項係數之和．
4．液態農藥一桶，倒出8升後用水灌滿，再倒出混合溶液4升，再用水灌滿，這時農藥的濃度為72％，求桶的容量．
5．滿足[-1.77x]=-2x的自然數x共有幾個？這裡[x]表示不超過x的最大整數，例如[-5.6]=-6，[3]=3．
6．設p是△abc內一點．求：p到△abc三頂點的距離和與三角形周長之比的取值範圍．
7．甲乙兩人同時從東西兩站相向步行，相會時，甲比乙多行24千米，甲經過9小時到東站，乙經過16小時到西站，求兩站距離．
8．黑板上寫著三個數，任意擦去其中一個，將它改寫成其他兩數的和減1，這樣繼續下去，最後得到19，1997，1999，問原來的三個數能否是2，2，2？
9．設有n個實數x1，x2，…，xn，其中每一個不是+1就是-1，且
求證：n是4的倍數．
自測題四
1．已知a，b，c，d都是正數，並且
a＋d＜a，c＋d＜b．
求證：ac＋bd＜ab．
2．已知甲種商品的原價是乙種商品原價的1.5倍．因市場變化，乙種商品提價的百分數是甲種商品降價的百分數的2倍．調價後，甲乙兩種商品單價之和比原單價之和提高了2％，求乙種商品提價的百分數．
3．在銳角三角形abc中，三個內角都是質數．求三角形的三個內角．
4．某工廠三年計劃中，每年產量遞增相同，若第三年比原計劃多生產1000臺，那麼每年比上一年增長的百分數就相同，而且第三年的產量恰為原計劃三年總產量的一半，求原計劃每年各生產多少臺？
z=｜x+y｜+｜y+1｜+｜x-2y+4｜，
求z的最大值與最小值．
8．從1到500的自然數中，有多少個數出現1或5？
9．從19，20，21，…，98這80個數中，選取兩個不同的數，使它們的和為偶數的選法有多少種？
自測題五
1．一項任務，若每天超額2件，可提前計劃3天完工，若每天超額4件，可提前5天完工，試求工作的件數和原計劃完工所用的時間．
2．已知兩列數
2，5，8，11，14，17，…，2＋(200-1)×3，
5，9，13，17，21，25，…，5＋(200-1)×4，
它們都有200項，問這兩列數中相同的項數有多少項？
3．求x3-**x＋2q能被x2＋2ax＋a2整除的條件．
4．證明不等式
5．若兩個三角形有一個角對應相等．求證：這兩個三角形的面積之比等於夾此角的兩邊乘積之比．
6．已知(x-1)2除多項式x4＋ax3-3x2＋bx＋3所得的餘式是x+1，試求a，b的值．
7．今有長度分別為1，2，3，…，9的線段各一條，可用多少種不同方法，從中選用若干條，使它們能圍成一個正方形？
8．平面上有10條直線，其中4條是互相平行的．問：這10條直線最多能把平面分成多少部分？
9．邊長為整數，周長為15的三角形有多少個？
自測題一
所以 x=5000(元)．
所以s的末四位數字的和為1＋9＋9＋5=24．
3．因為
時，a-b≥0，即a≥b．即當b≥a＞0或b≤a＜0時，等式成立．4．設上坡路程為x千米，下坡路程為y千米．依題意則
有由②有 2x+y=20， ③
由①有y=12-x．將之代入③得
2x+12-x=20．
所以 x=8(千米)，於是y=4(千米)．
5．第n項為
所以6．設p=30q＋r，0≤r＜30．因為p為質數，故r≠0，即0＜r＜30．假設r為合數，由於r＜30，所以r的最小質約數只可能為2，3，5．再由p=30q＋r知，當r的最小質約數為2，3，5時，p不是質數，矛盾．所以，r一定不是合數．
7．設由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即
(4-m)pq+1=2(p+q)．
可知m＜4．由①，m＞0，且為整數，所以m=1，2，3．下面分別研究p，q．
(1)若m=1時，有
解得p=1，q=1，與已知不符，捨去．
(2)若m=2時，有
因為2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2時無解．
(3)若m=3時，有
解之得故 p＋q=8．
8．因為x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由題設，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy＋y2)，從而3｜(x-y)2．因為3是質數，故3｜(x-y)．進而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，結合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x．
9．連結an，**，如圖1－103所示．因為n是bd的中點，所以
上述兩式相加
另一方面，
s△pcd=s△**d＋s△**p＋s△dnp．
因此只需證明
s△and＝s△**p＋s△dnp．
由於m，n分別為ac，bd的中點，所以
s△**p=s△cpm-s△cmn
=s△apm-s△amn
=s△anp．
又s△dnp=s△bnp，所以
s△**p＋s△dnp=s△anp+s△bnp=s△anb=s△and．
自測題二
1．原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000
=2x×1＋3×1-2x+2000
=2003．
2．原來每天可獲利4×100元，若每件提價x元，則每件商品獲利(4＋x)元，但每天賣出為(100-10x)件．如果設每天獲利為y元，則
y ＝(4＋x)(100-10x)
=400＋100x-40x-10x2
=-10(x2-6x＋9)＋90＋400
=-10(x-3)2＋490．
所以當x=3時，y最大=490元，即每件提價3元，每天獲利最大，為490元．
3．因為ce平分∠bcd，de平分∠adc及∠1＋∠2=90°(圖1－104)，所以
∠adc＋∠bcd=180°，
所以 ad‖bc．
又因為 ab⊥bc，
由①，②
ab⊥ad．
4．依題意有
所以 a2+b2+c2=34．
5．｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即
｜x｜(｜y｜-2)+(｜y｜-2)=2，
所以(｜x｜+1)(｜y｜-2)=2．
因為｜x｜＋1＞0，且x，y都是整數，所以
所以有6．設王平買三年期和五年期國庫券分別為x元和y元，則
因為 y=35000-x，
所以x(1＋0.0711×3)(1＋0.0522)2
+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，
所以1.3433x＋48755-1.393x=47761，
所以 0.0497x=994，
所以 x=20000(元)，
y=35000-20000=15000(元)．
7．因為
(k－1)x＝m-4， ①
m為一切實數時，方程組有唯一解．當k=1，m=4時，①的解為一切實數，所以方程組有無窮多組解．
當k=1，m≠4時，①無解．
所以，k≠1，m為任何實數，或k=1，m=4時，方程組至少有一組解．
8．由題設方程得
z＝3m-y．
x=19-y-4(3m-y)-m
=19+3y-13m．
原方程的通解為
其中n，m取任意整數值．
9．設蘋果、梨子、杏子分別買了x，y，z個，則
消去y，得12x-5z=180．它的解是
x=90-5t，z=180-12t．
代入原方程，得y=-230＋17t．故
x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t．
x=20，y=8，z=12．
因此，小王的願望不能實現，因為按他的要求，蘋果至少要有1＋2＋3+4＋5＋6=21＞20個．
自測題三
1．化簡得
6(a-1)x=3-6b+4ab，
當a≠1時，
2．將原方程變形為
由此可解得
x=a＋b+c．
3．當x=1時，
(8-6+4-7)3(2-1)2=1．
即所求式中各項係數之和為1．
依題意得
去分母、化簡得
7x2-300x+800=0，
即 (7x-20)(x-40)=0，
5．若n為整數，有[n＋x]=n＋[x]，所以
[-1.77x]=[-2x＋0.23x]
=-2x+[0.23x]．
由已知[-1.77x]=-2x，所以
-2x=-2x+[0.23x]，
所以 [0.23x]=0．
又因為x為自然數，所以0≤0.23x＜1，經試驗，可知x可取1，2，3，4，共4個．
6．如圖1－105所示．在△pbc中有
bc＜pb＋pc， ①
延長bp交ac於d．易證
pb＋pc＜ab＋ac． ②
由①，②
bc＜pb＋pc＜ab+ac， ③
同理ac＜pa＋pc＜ac＋bc， ④
ab＜pa＋pb＜ac＋ab． ⑤
③＋④＋⑤得
ab＋bc＋ca＜2(pa＋pb＋pc)＜2(ab＋bc＋ca)．
所以7．設甲步行速度為x千米/小時，乙步行速度為y千米/小時，則所求距離為(9x+16y)千米．依題意得
由①得16y2=9x2， ③
由②得16y=24＋9x，將之代入③得
即 (24＋9x)2=(12x)2．
解之得於是
所以兩站距離為
9×8＋16×6=168(千米)．
8．答案是否定的．對於2，2，2，首先變為2，2，3，其中兩個偶數，一個奇數．以後無論改變多少次，總是兩個偶數，一個奇數(數值可以改變，但奇偶性不變)，所以，不可能變為19，1997，1999這三個奇數．
。又因為
所以，k是偶數，從而n是4的倍數．
自測題四
1．由對稱性，不妨設b≤a，則
ac＋bd≤ac＋ad=a(c＋d)＜ab．
2．設乙種商品原單價為x元，則甲種商品的原單價為1.5x元．設甲商品降價y％，則乙商品提價2y％．依題意有
1.5x(1-y％)+x(1＋2y％)=(1.5x＋x)(1＋2％)，
化簡得1.5-1.5y+1+2y=2.5×1.02．
所以y=0.1=10％，
所以甲種商品降價10％，乙種商品提價20％．
3．因為∠a+∠b＋∠c=180°，所以∠a，∠b，∠c中必有偶數．唯一的偶質數為2，所以
∠c=2°．
所以∠a+∠b=178°．
由於需∠a，∠b為奇質數，這樣的解不唯一，如
4．設每年增產d千臺，則這三年的每一年計劃的千臺數分別為a-d，a，a＋d．依題意有
解之得所以三年產量分別是4千臺、6千臺、8千臺．
不等式組：
所以 x＞2；
無解．6．設原式為s，則所以又
＜0.112-0.001=0.111．
因為所以=0.105
即為所求．
7．由｜x｜≤1，｜y｜≤1得
-1≤x≤1，-1≤y≤1．
所以y＋1≥0，
x-2y+4≥-1-2×1+4=1＞0．
所以z=｜x+y｜+(y+1)+(x-2y+4)
=｜x+y｜＋x-y＋5．
(1)當x+y+≤0時，
z=-(x+y)＋x-y+5=5-2y．
由-1≤y≤1可推得3≤5-2y≤7，所以這時，z的最小值為3、最大值為7．
(2)當x+y＞0時，
z=(x＋y)+(x-y+5)=2x+5．
由-1≤x≤1及可推得3≤2x+5≤7，所以這時z的最小值為3、最大值為7．
由(1)，(2)知，z的最小值為3，最大值為7．
8．百位上數字只是1的數有100，101，…，199共100個數；十位上數字是1或5的(其百位上不為1)有
2×3×10=60(個)．
個位上出現1或5的(其百位和十位上都不是1或5)有
2×3×8=48(個)．
再加上500這個數，所以，滿足題意的數共有
100+60+48+1=209(個)．
9．從19到98共計80個不同的整數，其中有40個奇數，40個偶數．第一個數可以任選，有80種選法．第一個數如果是偶數，第二個數只能在其他的39個偶數中選取，有39種選法．同理，第一個數如果是奇數，第二個數也有39種選法，但第一個數為a，第二個為b與第一個為b，第二個為a是同一種選法，所以總的選法應該折半，即共有
種選法．
自測題五
1．設每天計劃完成x件，計劃完工用的時間為y天，則總件數為xy件．依題意得
解之得總件數
xy=8×15=120(件)，
即計劃用15天完工，工作的件數為120件．
2．第一列數中第n項表示為2＋(n-1)×3，第二列數中第m項表示為5＋(m-1)×4．要使
2＋(n-1)×3＝5+(m-1)×4．
所以因為1≤n≤200，所以
所以 m=1，4，7，10，…，148共50項．
3．x3-**x+2q被x2＋2ax＋a2除的餘式為
3(a2-p)x＋2(q＋a3)，
所以所求的條件應為
4．令因為
所以5．如圖1-106(a)，(b)所示．△abc與△fde中，
∠a=∠d．現將△def移至△abc中，使∠a與∠d重合，de=ae』，df=af』，連結f』b．此時，△ae』f』的面積等於三角形def的面積．
①×②得
6．不妨設商式為x2+α•x＋β．由已知有
x4＋ax3-3x2＋bx＋3
=(x-1)2(x2+α•x＋β)+(x＋1)
=(x2-2x＋1)(x2＋α• x＋β)＋x＋1
=x4+(α-2)x3+(1-2α＋β)x2
＋(1＋α-2β)x＋β+1．
比較等號兩端同次項的係數，應該有
只須解出
所以a=1，b=0即為所求．
7．因為
所以正方形的邊長≤11．
下面按正方形邊的長度分類列舉：
(1)邊長為11：
9＋2=8+3=7＋4=6+5，
可得1種選法．
(2)邊長為10：
9＋1=8＋2=7＋3=6+4，
可得1種選法．
(3)邊長為9：
9=8+1=7+2=6+3=5+4，
可得5種選法．
(4)邊長為8：
8=7+1=6+2=5+3，
可得1種選法．
(5)邊長為7：
7=6+1=5＋2=4＋3，
可得1種選法．
(6)邊長≤6時，無法選擇．
綜上所述，共有
1+1+5+1+1=9
種選法組成正方形．
8．先看6條不平行的直線，它們最多將平面分成
2+2＋3+4+5＋6=22個部分．
現在加入平行線．加入第1條平行線，它與前面的6條直線最多有6個交點，它被分成7段，每一段將原來的部分一分為二，故增加了7個部分．加入第2，第3和第4條平行線也是如此，即每加入一條平行線，最多增加7個部分．因此，這些直最多將平面分成
22+7×4=50
個部分．
9．不妨設三角形的三邊長a，b，c滿足a≥b≥c．由b＋c＞a，a＋b＋c=15，a≥b≥c可得，15=a＋(b＋c)＞2a，所以a≤7．又15=a+b＋c≤3a，故a≥5．於是a=5，6，7．當a=5時，b＋c=10，故b=c=5；當a=b時，b＋c=9．於是b=6，c=3，或b=5，c=4；當a=7時，b+c=8，於是b=7，c=1，或b=6，c=2，或b=5，c=3，或b=4，c=4．
所以，滿足題意的三角形共有7個．
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初一奧數 已知
解 1 當x 0時，等號左邊 1，右邊 a0所以有a0 1。2 當x 1時，等號左邊 1，右邊 a0 a1 a2 a3 a4 a5 所以有a0 a1 a2 a3 a4 a5 1。3 當x 1時，等號左邊 243，右邊 a0 a1 a2 a3 a4 a5 所以有a0 a1 a2 a3 a4 a5 24...
初一奧數題
1.m 2 n 5 m 2 5 m 2 n 5 m 2 5 0 n 10 0 n 102.x 2 2與 3 y 互為相反數平方是非負數，它的相反數為0或負數。當 x 2 2 0時，x 2 0,3 y 0解得x 2,y 3y x 3 2 當 x 2 2 0時，x 2 0,3 y 0解得x 2,y 3y...