分式的加減的公式

2021-08-22 08:15:08 字數 5296 閱讀 5009

1樓:心遊目送

一)完全平方數的性質

一個數如果是另一個整數的完全平方,那麼我們就稱這個數為完全平方數,也叫做平方數。例如:

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…

觀察這些完全平方數,可以獲得對它們的個位數、十位數、數字和等的規律性的認識。下面我們來研究完全平方數的一些常用性質:

性質1:完全平方數的末位數只能是0,1,4,5,6,9。

性質2:奇數的平方的個位數字為奇數,十位數字為偶數。

證明 奇數必為下列五種形式之一:

10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9

分別平方後,得

(10a+1)^2=100+20a+1=20a(5a+1)+1

(10a+3)^2=100+60a+9=20a(5a+3)+9

(10a+5)^2=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5

(10a+7)^2=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9

(10a+9)^2=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1

綜上各種情形可知:奇數的平方,個位數字為奇數1,5,9;十位數字為偶數。

性質3:如果完全平方數的十位數字是奇數,則它的個位數字一定是6;反之,如果完全平方數的個位數字是6,則它的十位數字一定是奇數。

證明 已知m^2=10k+6,證明k為奇數。因為的個位數為6,所以m的個位數為4或6,於是可設m=10n+4或10n+6。則

10k+6=(10n+4)^2=100+(8n+1)x10+6

或 10k+6=(10n+6)^2=100+(12n+3)x10+6

即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1

或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3

∴ k為奇數。

推論1:如果一個數的十位數字是奇數,而個位數字不是6,那麼這個數一定不是完全平方數。

推論2:如果一個完全平方數的個位數字不是6,則它的十位數字是偶數。

性質4:偶數的平方是4的倍數;奇數的平方是4的倍數加1。

這是因為 (2k+1)=4k(k+1)+1

(2k)=4

性質5:奇數的平方是8n+1型;偶數的平方為8n或8n+4型。

在性質4的證明中,由k(k+1)一定為偶數可得到(2k+1)是8n+1型的數;由為奇數或偶數可得(2k)為8n型或8n+4型的數。

性質6:平方數的形式必為下列兩種之一:3k,3k+1。

因為自然數被3除按餘數的不同可以分為三類:3m,3m+1, 3m+2。平方後,分別得

(3m)=9=3k

(3m+1)=9+6m+1=3k+1

(3m+2)=9+12m+4=3k+1

同理可以得到:

性質7:不能被5整除的數的平方為5k±1型,能被5整除的數的平方為5k型。

性質8:平方數的形式具有下列形式之一:16m,16m+1, 16m+4,16m+9。

除了上面關於個位數,十位數和餘數的性質之外,還可研究完全平方數各位數字之和。例如,256它的各位數字相加為2+5+6=13,13叫做256的各位數字和。如果再把13的各位數字相加:

1+3=4,4也可以叫做256的各位數字的和。下面我們提到的一個數的各位數字之和是指把它的各位數字相加,如果得到的數字之和不是一位數,就把所得的數字再相加,直到成為一位數為止。我們可以得到下面的命題:

一個數的數字和等於這個數被9除的餘數。

下面以四位數為例來說明這個命題。

設四位數為,則

= 1000a+100b+10c+d

= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)

= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)

顯然,a+b+c+d是四位數被9除的餘數。

對於n位數,也可以仿此法予以證明。

關於完全平方數的數字和有下面的性質:

性質9:完全平方數的數字之和只能是0,1,4,7,9。

證明 因為一個整數被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4這幾種形式,而

(9k)=9(9)+0

(9k±1)=9(9±2k)+1

(9k±2)=9(9±4k)+4

(9k±3)=9(9±6k)+9

(9k±4)=9(9±8k+1)+7

除了以上幾條性質以外,還有下列重要性質:

性質10:為完全平方數的充要條件是b為完全平方數。

證明 充分性:設b為平方數,則

==(ac)

必要性:若為完全平方數,=,則

性質11:如果質數p能整除a,但p的平方不能整除a,則a不是完全平方數。

證明 由題設可知,a有質因數p,但無因數,可知a分解成標準式時,p的次方為1,而完全平方數分解成標準式時,各質因數的次方均為偶數,可見a不是完全平方數。

性質12:在兩個相鄰的整數的平方數之間的所有整數都不是完全平方數,即若

n^2 < k^2 < (n+1)^2

則k一定不是完全平方數。

性質13:一個正整數n是完全平方數的充分必要條件是n有奇數個因數(包括1和n本身)。

(二)重要結論

1.個位數是2,3,7,8的整數一定不是完全平方數;

2.個位數和十位數都是奇數的整數一定不是完全平方數;

3.個位數是6,十位數是偶數的整數一定不是完全平方數;

4.形如3n+2型的整數一定不是完全平方數;

5.形如4n+2和4n+3型的整數一定不是完全平方數;

6.形如5n±2型的整數一定不是完全平方數;

7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整數一定不是完全平方數;

8.數字和是2,3,5,6,8的整數一定不是完全平方數。

(三)範例

[例1]:一個自然數減去45及加上44都仍是完全平方數,求此數。

解:設此自然數為x,依題意可得

x-45=m^2; (1)

x+44=n^2 (2)

(m,n為自然數)

(2)-(1)可得 :

n^2-m^2=89或: (n-m)(n+m)=89

因為n+m>n-m

又因為89為質數,

所以:n+m=89; n-m=1

解之,得n=45。代入(2)得。故所求的自然數是1981。

[例2]:求證:四個連續的整數的積加上1,等於一個奇數的平方(2023年基輔數學競賽題)。

分析 設四個連續的整數為,其中n為整數。欲證

是一奇數的平方,只需將它通過因式分解而變成一個奇數的平方即可。

證明 設這四個整數之積加上1為m,則

m為平方數

而n(n+1)是兩個連續整數的積,所以是偶數;又因為2n+1是奇數,因而n(n+1)+2n+1是奇數。這就證明了m是一個奇數的平方。

[例3]:求證:11,111,1111,這串數中沒有完全平方數(2023年基輔數學競賽題)。

分析 形如的數若是完全平方數,必是末位為1或9的數的平方,即

或 在兩端同時減去1之後即可推出矛盾。

證明 若,則

因為左端為奇數,右端為偶數,所以左右兩端不相等。

若,則因為左端為奇數,右端為偶數,所以左右兩端不相等。

綜上所述,不可能是完全平方數。

另證 由為奇數知,若它為完全平方數,則只能是奇數的平方。但已證過,奇數的平方其十位數字必是偶數,而十位上的數字為1,所以不是完全平方數。

[例4]:試證數列49,4489,444889, 的每一項都是完全平方數。

證明 =

=++1

=4+8+1

=4()(9+1)+8+1

=36 ()+12+1

=(6+1)

即為完全平方數。

[例5]:用300個2和若干個0組成的整數有沒有可能是完全平方數?

解:設由300個2和若干個0組成的數為a,則其數字和為600

3|600 ∴3|a

此數有3的因數,故9|a。但9|600,∴矛盾。故不可能有完全平方數。

[例6]:試求一個四位數,它是一個完全平方數,並且它的前兩位數字相同,後兩位數字也相同(1999小學數學世界邀請賽試題)。

解:設此數為

此數為完全平方,則必須是11的倍數。因此11|a + b,而a,b為0,1,2,9,故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8組可能。

直接驗算,可知此數為7744=88。

[例7]:求滿足下列條件的所有自然數:

(1)它是四位數。

(2)被22除餘數為5。

(3)它是完全平方數。

解:設,其中n,n為自然數,可知n為奇數。

11|n - 4或11|n + 4

或 k = 1

k = 2

k = 3

k = 4

k = 5

所以此自然數為1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。

[例8]:甲、乙兩人合養了n頭羊,而每頭羊的賣價又恰為n元,全部賣完後,兩人分錢方法如下:先由甲拿十元,再由乙拿十元,如此輪流,拿到最後,剩下不足十元,輪到乙拿去。

為了平均分配,甲應該補給乙多少元(第2屆「祖沖之杯」初中數學邀請賽試題)?

解:n頭羊的總價為元,由題意知元中含有奇數個10元,即完全平方數的十位數字是奇數。如果完全平方數的十位數字是奇數,則它的個位數字一定是6。

所以,的末位數字為6,即乙最後拿的是6元,從而為平均分配,甲應補給乙2元。

[例9]:矩形四邊的長度都是小於10的整數(單位:公分),這四個長度數可構成一個四位數,這個四位數的千位數字與百位數字相同,並且這四位數是一個完全平方數,求這個矩形的面積(2023年縉雲杯初二數學競賽題)。

解:設矩形的邊長為x,y,則四位數

∵n是完全平方數,11為質數 ∴x+y能被11整除。

又 ,得x+y=11。

∴∴9x+1是一個完全平方數,而,驗算知x=7滿足條件。又由x+y=11得。

[例10]:求一個四位數,使它等於它的四個數字和的四次方,並證明此數是唯一的。

解:設符合題意的四位數為,則,∴為五位數,為三位數,∴。經計算得,其中符合題意的只有2401一個。

[例11]:求自然數n,使的值是由數字0,2,3,4,4,7,8,8,9組成。

解:顯然,。為了便於估計,我們把的變化範圍放大到,於是,即。∵,∴。

另一方面,因已知九個數碼之和是3的倍數,故及n都是3的倍數。這樣,n只有24,27,30三種可能。但30結尾有六個0,故30不合要求。經計算得

故所求的自然數n = 27。

(四)討論題

1.(2023年第27屆imo試題)

設正整數d不等於2,5,13,求證在集合中可以找到兩個不同的元素a , b,使得ab -1不是完全平方數。

2.求k的最大值

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