1樓：匿名使用者
同證明有理數為可數集，同樣用編號法。
因為有理數能表示成兩整數之比，同理，有理數點都能表示成(a/b,c/d)形式。於是按a/b,c/d中從小到大排列，並正負交換，得到以下排列，便列出了所有的有理點集：
0→(0,0),1→(0,1),2→(0,-1),3→(1,0),4→(-1,0),5→(1,1),6→(1,-1),7→(-1,-1),8→(0,2),9→(0,-2),10→(1,2),11→(1,-2),12→(-1,2),13→(-1,-2),14→(2,2),15→(2,-2),16→(-2,2),17→(-2,-2),18→(2,1)……21→(-2,-1),22→(0,1/2),23→(0,-1/2),24→(1/2,0),25→(-1/2,0),26→(1/2,1)……30→(1,1/2)……34→(2,1/2)……38→(1/2,2)……42→(1/2，1/2)……46→(0,3)……
顯然座標為有理數點組成的集合與自然數集一一對應。因此平面上所有的有理點的集合為可數集。
2樓：匿名使用者
首先證明：每一個圓周上含有3個有理點的圓，它的圓周上一定含有無窮多個有理點．
設平面上⊙c0的圓周上含有3個有理點pi（xi，yi）（i=1，2，3），c0（x0，y0），則
∵線段p1p2，p1p3的垂直平分線過c0，
∴(y2−y1)(y0−
y1+y2
2)+(x2−x1)(x0−
x1+x2
2)＝0(y3−y1)(y0−
y1+y3
2)+(x3−x1)(x0−
x1+x3
2)＝0，∵xi，yi（i=1，2，3）都是有理數，
∴方程組的解（x0，y0）都是有理數，
設有理點pn（xn，yn）的座標為
xn＝x0+an(x3−x0)−bn(y3−y0)
yn＝y0+bn(x3−x0)+an(y3−y0)
，其中an＝
n2−1
n2+1
，bn＝
2nn2+1
（n≥4），
則|pnc0|2=(x3−x0)2+(y3−y0)2=|p3c0|2，
∴pn（xn，yn）都在⊙c0的圓周上，即圓周上一定含有無窮多個有理點．
其次，構造一個圓周傻瓜值含有兩個有理點的例項．
c：(x−
2)2+(y−
2)2＝6，則p1（-1，1），p2（1，-1）都在⊙c的圓周上，
若圓周上含有其它有理點p3（x3，y3），
則(x3−
2)2+(y−
2)2＝6，
即x32+y32−2＝2
3（x3+y3），
因為左邊是有理數，
2是無理數，
所以x3+y3=0，
∴x3=1，y3=-1或x3=-1，y3=1，即是p1（-1，1），p2（1，-1），矛盾．
綜上所述，k的最小值為3．
設p點座標為(a,b),若a,b均為有理數,則稱p為有理點。已知直線l經過點a（0，-根號3） b（2，根號3）
3樓：數學新綠洲
解析：已知直線l經過點a（0，-根號3） b（2，根號3），那麼：
直線l的斜率k=(根號3+根號3)/(2-0)=根號3，它在y軸上的截距為-根號3
所以直線l的斜截式方程為：
y=根號3*x- 根號3
即y=根號3*(x-1)
若點p(x,y)即(x,根號3*(x-1) )是l上的有理點，那麼可知：
x與根號3*(x-1)都是有理數
當且僅當x-1=0即x=1時，滿足題意
所以l上的有理點個數為1個，它是點(1,0)
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