1樓：帳號已登出
存在30個子群，其中，除去兩橡敗慶個平凡的子群，另有9個2階循梁握環群；4個3階迴圈群；3個4階迴圈群；4個klein4元群；4個s3（在同構意義之下）；3個8階子群以及1個12階子群。
s4的階是24，那麼非平凡子群有可能有2，3，4，6，12五類。2，3階子群肯定不是正規子群，因為他們肯定是迴圈群，而s4非交換，所以一定不是。4階子群，只有z4和顯然不是枯此正規子群。
k4=是其正規子群。
含義。任何有限維歐幾里得。
空間中，平移群都是歐幾里得群的正規子群。比如說在3維空間。
中，先旋轉，平移，再作原來旋轉的逆，結果是原來的平移。先做鏡面對稱，平移，再作原來鏡面對稱的逆，還是原來的平移。將平移按長度分類，就得到乙個等價類。
平移群是各種長度的平移的並集。
以上內容參考：百科-正規子群。
2樓：網友
設k是s4的非平凡正規子群。 recall s4中的元素要麼是單位元(1)，要麼是2-迴圈(對換)，要麼是兩個2-迴圈的乘積(a1a2)(a3a4)，要麼是3-迴圈(a1a2a3)，要麼是4-迴圈(a1a2a3a4).
如果k包含乙個對換(a1a2)，則取a3≠a1,a2，將(a2a3)共軛作用在(a1a2)上得到(a1a3)，從而所有的對換都在k裡面，此時k是全體對換的生成群s4.
如果k包含乙個3-迴圈(a1a2a3)，則取a4≠a1,a2,a3，將(a3a4)共軛作用到(a1a2a3)得到(a1a2a4)，而(a1a2a3)和(a1a2a4)的生成群是交錯群a4，故此時a4是k的子群，k又是s4的子群，k只能是a4或者是s4.
如果k不包含對換和3-置換，但包含某個對換的乘積(a1a2)(a3a4)，則(a2a3)共軛作用到(a1a2)(a3a4)得(a1a3)(a2a4)，(a1a3)共軛作用到(a1a2)(a3a4)得(a1a4)(a2a3)，這裡恰好有三個（也是全部廳槐）形如(a1a2)(a3a4)的元素，它們與(1)共同組成了4階klein群k4。
如果k不包含對換和3-迴圈，包含乙個4-迴圈(a1a2a3a4)，那麼(a1a2a3a4)(a1a2a3a4)=(a1a3)(a2a4)也在k裡面，由上可知(a1a4)(a2a3)也在，而(a1a4)(a2a3)(a1a2a3a4)=(a1a2)，據此此時k應該包含整個s4. 故k不包含2,3,4-迴圈中任乙個的時候k恰好是k4.
事實上，上述五類汪仔s4的中的元素每一類都是乙個共軛類，而正規子群要麼包含整個共軛類要麼與共軛類不相交。五個共軛類中的元素個數為(1,6,3,8,6)，正規子群又必須包含單位元，故僅有1=1, 1+3=4, 1+3+8=12 和 1+6+3+8+6=24時共軛類並集的扮陵友和是s4的階的因數，而它們恰好分別是平凡群<(1)>，4階klein群k4，4階交錯群a4和4階對稱群s4本身，正是上面推導的全部正規子群。
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