1樓：匿名使用者
第三講 函式的概念和性質
知識、方法、技能
i．函式的定義
設a，b都是非空的數集，f是從a到b的一個對應法則.那麼，從a到b的對映f：a→b就叫做從a到b的函式.
記做y=f(x)，其中x∈a，y∈b，原象集合，a叫做函式f(x)的定義域，象的集合c叫做函式的值域，顯然c b.
ii．函式的性質
（1）奇偶性 設函式f(x)的定義域為d，且d是關於原點對稱的數集.若對任意的x∈d，都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)是奇函式；若對任意的x∈d，都有f(－x)=f(x),則稱f(x)是偶函式.
（2）函式的增減性 設函式f(x)在區間d′上滿足：對任意x1, x2∈d′，並且x1f(x2)),則稱f(x)在區間d′上的增函式（減函式），區間d′稱為f(x)的一個單調增（減）區間.
iii．函式的週期性
對於函式¬ f(x),如果存在一個不為零的正數t，使得當x取定義域中的每個數時，f(x+t)=f(x)總成立，那麼稱f(x)是周期函式，t稱做這個周期函式的週期.如果函式f(x)的所有周期中存在最小值t0，稱t0為周期函式f(x)的最小值正週期.
iv．高斯函式
對任意實數x,我們記不超過x的最大整數為[x]，通常稱函式y=[x]為取整函式，又稱高斯函式.
進一步，記=x－[x]，則函式y=稱為小數部分函式，它表示的是x的小數部分.
根據高斯函式的定義，可得到其如下性質.
性質1 對任意x∈r，均有
x－1<[x]≤x<[x]+1.
性質2 對任意x∈r，函式y=的值域為 .
性質3 高斯函式是一個不減函式，即對任意x1, x2∈r，若x1≤x2, 則[x1] ≤[x2].
性質3 若n∈z, x∈r,則有 [x+n]=n+[x], =
後一個式子表明y=是一個以1為週期的函式.
性質4 若x , y ∈r， 則 [x]+ [y]≤[x+y] ≤[x]+ [y]+1.
性質5 若n∈n*, x∈r, 則[nx]≥n[x]
性質6 若n∈n*, x∈r, 則 .
性質7 若n∈n*, x∈r+, 則在區間[1,x]內，恰有 個整數是n的倍數.
性質8 設p為質數，n∈n*,在p在n!的質因數分解式中的冪次為
賽題精講
函式是高中數學，也是高等數學的基礎.因此，也是高考和高中數學競賽的重要內容.下面分類介紹此類題目.
i 函式的定義域和值域
例1 當x為何值時， 才有意義.
【思路分析】應根據對數的意義，從最外層開始一層一層地逐步消去根號和對數符號求出x的範圍.
【略解】由 >0，得 ≥1
……∴【評述】這種多層對數及根式問題，一定要逐層由外向內求解，要有耐心。
例2 設a=,在a上定義函式f如下：若a∈a，則f(a)表示a的數字之和，例如f(7)=7，f(42)=6，設函式f的值域是集合m.求證：m=.
【思路分析】注意從充要條件的角度來進行證明.
【略解】先證m .
任取x∈m, 即x是被7整除的正整數的數字之和，由於7×10n，n=0, 1,2，…，所以x的數字之和是大於1的正整數，因此x∈.所以
m .再證 m.
任取x∈,即x是大於1的正整數.下面分兩種情形：
當x=2k(k∈n*)時，由於7|100|，於是取
a= 10011001…1001，
k個1001
則7|a，且f(a)=2k,所以x∈m.
當x=2k+1(k∈n*)時，由於7|100|，7|21，於是取
b=10011001…100121，
k－1個1001
則7|b，且f(b)=2(k－1)+3=2k+1,故x∈m,故x∈m.所以
m.因此 m=.
【評述】此類題目的證明嚴謹、科學.
例3 設正實數x, y滿足xy=1，求函式
f(x, y) = 的值域.（其中（[x]表示不超過x的最大整數）
【思路分析】由x、y的對稱性，不妨設x≥y，則有x2≥1，必分x=1與x>1兩種情況討論.
【詳解】不妨設x≥y，則x2≥1,x≥1.有下面兩種情形：
（1）當x=1時，y=1，此時f(x,y)= .
（2）當x>1時，設[x]=n， =x－[x]=α，則x=n+α,0≤α<1.
於是，y= <1，故[y]=0.
.由函式g(x)=x+ 在x≥1時是遞增的和0≤α<1得
綜上所述，f(x, y)的值域為 .
【評述】本例表面上為「二元函式」實為一元函式，因為y= ，消去y後就是關於x的函式了.
ii．函式性質的應用
在數學競賽中，常見的應用函式性質的題目有以下幾類：
1．求值、求最值
例4 設函式f(x)是定義在r上的週期為3的奇函式，且f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.
【思路分析】要抓住函式為奇函式且週期為3進行變形求值.
【略解】對定義在r上的奇函式，必有
f(0)=－f(0),即f(0)=0.
∴f(3)=f(0)=0, f(2)=f(－1+3)=f(－1)=－f(1)=－2.
∴f(2)+f(3)=－2.
例5 設f(x)，g(x)都是定義在r上的奇函式，f(x)=af(x)+bg(x)+2在區間（0，+∞）上的最大值是5，求f(x)在（－∞，0）上的最小值.
【思路分析】應注意f(x)－2是奇函式，這是解題的一條途徑.
【略解】令 (x)=f(x)－2=af(x)+bg(x),
易知 (x)為奇函式，且在（0，+∞）上有最大值3.
∴ (x)在（－∞，0）上有最小值－3.
故f(x)在（－∞，0）上的最小值為－1.
【評述】將代數式轉化為奇函式的思想十分重要，應注意掌握這種「轉化思想」.
例6 設函式f(x), 對任意x, y∈r都有f(x+y)=f(x)+f(y)，若x>0時，f(x)<0且f(1)=－2.
（1）證明：f(x)是奇函式；
（2）求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值.
【思路分析】因為x∈r，由區間的特殊點，即x=0入手，是解題的出發點.
【略解】（1）令x=y=0,則有
f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0.
再令y=－x，得f(0)=f(x)+f(－x),
∵f(0)=0, ∴f(－x)=－f(x),
∴f(x)是奇函式.
（2）設x1, x2∈r，且x1< x2,則
f(x2)=f[x1+(x2－x1)]=f(x1)+f(x2－x1),
∵x2>x1, ∴x2－x1>0.
由已知得 f(x2－x1)<0,
∴f(x2)0, ∴1－lga=0,
故a=10.
【評述】利用「函式與方程的思想」來解題依然是本題的主線，但函式是奇函式是出發點。應注意找好每道題解題的出發點.
例8 已知定義在r上的單調函式f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)且f(1)=2.
（1）求證：f(x)為奇函式；
（2）當t>2時，不等式f(klog2t)+f(log2t－log22t－2)<0恆成立，求實數k的取值範圍.
【思路分析】由f(x)的定義域為r，從其特殊點，即x=y=0入手來解此題.
【略解】（1）令x=y=0得
f(0)=2f(0), ∴f(0)=0.
再令y=－x, 得f(0)=f(x)+f(－x),
∴f(－x)=－f(x), 即f(x)為奇函式.
（2）∵f(0)=0, f(1)=2,且f(x)是r上的單調函式，故f(x)是r上的單調遞增函式.又f(x)是奇函式.
由 得klog2t0,
∴(k+1)2－8<0,
∴－2 8.
3．已知指數函式f(x)=ax(a>0, a≠1)，求滿足f(3x2－4x－5)>f(2x2－3x+1)的x的值.
4．設q為有理數集，求滿足下列條件的從q到q的函式f:
（1）f(1)=2;
（2）對所有x,y∈q，有f(x,y)=f(x)f(y)－f(x+y)+1.
5．函式f(x)在[0，1]上有定義，f(0)=f(1).如果對於任意不同的x1, x2∈[0，1]，都有|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|.求證：
|f(x2)－f(x1)|< .
6．求方程[x/1!]+[x/2!]+…+[x/10!]=1001的整數解.
7．g: c→c，ω∈c，a∈c, ω3=1, ω≠1.證明有且僅有一個函式f: c→c,滿足
f(z)+f(ωz+a)=g(z), z∈c.求出f.
當代數式|x+1|+|x-2|取最小值時，相應的x的取值範圍是——————.
2樓：匿名使用者
知識點:根據數學中"絕對值的意義"解答.
解:|x+1|表示在數軸上代表x的點到數字"-1"的距離;
|x-2|表示在數軸上代表x的點到數字"2"的距離.
則|x+1|+|x-2|表示在數軸上代表x的點到數字"-1"和"2"距離的和.
所以,當代表x的點在數字"-1"和"2"之間,即-1≤x≤2時,此距離之和最小,且最小值為3.
3樓：匿名使用者
|解:當x+1≥0,x-2≥0即x≥2時
|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1它的最小值為2*2-1=3
當x+1>0，x-2<0，即-1≤0，x-2≤0，即x≤-1時|x+1|+|x-2|=-x-1+2-x=-2x+1它的最小值為-2*(-1)+1=3
綜合可得：當x≥2時，|x+1|+|x-2|最小值為3當-1 4樓：我不是他舅 |x+1|+|x-2| =|x+1|+|2-x|≥|x+1+2-x|=3當x+1和2-x同號時取等號 所以就是(x+1)(2-x0≥0 (x+1)(x-2)≤0 -1≤x≤2 5樓：匿名使用者 ＋|當代數式|x＋1|＋|x－2|=2取最小值時，相應x的取值範圍是"這道題目無解. 因為題目的幾何意義是求到-1與到2的距離的和等於2的未知數的值,而到數軸上-1,2兩點的距離的和至少為3,不可能為2,所以相應的x不存在. 6樓：我叫神馬猥瑣男 當代數式|x+1|+|x-2|取最小值時，相應的x的取值範圍是[-1,2] 7樓：貝景明斂妝 ＋|||x＋1|＋|x－2|=2是個等式啊!有什麼最小值?你**寫錯了吧 |x＋1|＋|x－2|=2有4種可能等價式(x＋1)＋(x－2)=2*****>x=3/2-(x＋1)＋(x－2)=2====>-3=2===>無解(x＋1)-(x－2)=2*****=>3=2====>無解-(x＋1)-(x－2)=2*****>x=-1/2 所以x只能有兩個值3/2和-1/2. 一個代數式，與x的取值無關，即x無論取什麼值對代數式的結果都沒有影響。原式化為 1 b x a 2 x 11y 8由題意得1 b 0 a 2 0 b 1,a 2 即當b 1,a 2時原代數式的值與x的取值無關。有一個跟你這差不多的問題 與x無關，就是根本沒有關於x的代數式。把括號去掉，然後合併同類項... 代數式 x 2有意義，x 2 0，x 2 故答案為x 2 若代數式根號x 2有意義，則x的取值範圍是多少 若代數式根號 x 2 有意義，則x的取值範圍是 x 2 因為二次根式被開方數大於或等於0才有意義，所以x 2 0，即 x 2。如果題目是根號x 2,那麼答案是x 2 無論x取任何實數,代數式 x... 解不等式 3 x 1 2 x 1 3 3,去分母,得 9x 9 2x 2 18,移項合併同同類項專,得 11x 7,把係數化為1,得 x 7 11 則x 7 11時,代數式 3 x 1 2 的值比屬代數式x 1 3 3 的值大.代數式x 35的值是否能同時大於代數式2x 3和1 x的值?說明理由 x...代數式，與x的取值無關,一個代數式，與x的取值無關。
要使代數式x2有意義，則x,要使代數式x2有意義，則x的取值範圍是
x為何值時,代數式3x,x為何值時,代數式3x12的值比代數式x133的值大