1樓：匿名使用者
^首先，e^(sinx)->e^0=1就不說了，直接用1替換。
x->0時，有e^x=1+x/1!+x^2/2!+……
也即e^x-1=x+x^2/2+……
為什麼說可以呼叫tanx-sinx~1/2*x³呢？這是因為：
tanx-sinx=sinx(1/cosx-1)=sinx*(1-cosx)/cosx
而x->0時，cosx=1-x²/2！+x^4/4!-……，故1-cosx~x²/2
故tanx-sinx~sinx*(1-cosx)/cosx~x*(x²/2)/1=1/2*x³
知道了上述資訊，才可以所謂「呼叫」：
e^(tanx-sinx)-1~tanx-sinx~1/2*x³
呼叫的前提是，分母剛好是x³！否則可不敢隨便「呼叫」！
當然了這題，不必非得用等價無窮小代替，也可以用羅必塔嘛：
原式=lim [e^(tanx-sinx)-1]/x³=
x->0
lim [e^(tanx-sinx)*(sec²x-cosx)]/(3x²)=
x->0
lim (sec²x-cosx)/(3x²)=
x->0
lim (1-cos³x)/[cos²x*(3x²)]=
x->0
lim (1-cos³x)/(3x²)=
x->0
lim -3cos²x*(-sinx)/(6x)=
x->0
=1/2
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