1樓：電燈劍客
首先，令g(x)=f(x)-1，把條件寫成g(x+y)=g(x)+g(y)……(1)g(x)+1=xg(1/x)+x……(2)(1)稱為cauchy函式方程，一般來講是需要額外條件(諸如連續性、單調性之類)才能得到g是線性函式，對於這個問題而言，(2)就是所謂的額外條件，所以不再需要連續性的條件。
首先，在(2)當中取x=-1得到g(-1)=-1。
再對(1)取y=-x-1得-1=g(x-x-1)=g(x)+g(-x)+g(-1)，所以g(-x)=-g(x)，即g是奇函式。
將(2)變形為
g(x)-x=x[g(1/x)-1/x]……(3)如果存在a>0使得g(a)>a，那麼g(1/a)>1/a，利用奇函式的性質，g(-a)=-g(a)<-a，繼續在(3)中取x=-a得到g(-1/a)>-1/a，這樣g(1/a)=-g(-1/a)<1/a，矛盾。同理可以證明不存在a>0使得g(a)0時只能有g(a)=a。再利用奇函式的性質得a<0時也有g(a)=a，即(1)和(2)只有唯一解g(x)=x。
2樓：匿名使用者
簡單想了一下，似乎需要f連續才能證明唯一性。假設條件滿足，那麼設g(x)=f(x)-1，那麼g(x)+g(y)=g(x+y),g(nx)=ng(x)。
設g(1)=a，那麼g(n)=na。
由(1)，g(1/n)=a-1+1/n。
因為g是線性，所以a-1=0（也可以通過g(1/2)=g(2/4)=2*g(1/4)來證明）。
故g(1/n)=1/n,g(p/q)=g(p/q)。
由g的連續性，對所有實數，g(x)=x,f(x)=x+1
求證 定義域為（ l，l）的任何函式都能表示成奇函式與偶函式之和
不用襲分的 設函式是f x 令2g x f x f x 2h x f x f x 則2g x f x f x 2g x 2h x f x f x 2h x 所以g x f x f x 2是偶函式h x f x f x 2是奇函式而f x g x h x 命題得證 因為該函 bai數的定義關於原du點...
恰有3點到直線l的距離等於，恰有3點到直線l的距離等於
第一題 過點 根號2，2 根號2 的直線方程為 y 2根號2 k x 根號2 kx y 2 2 2k 0,又圓x 2 y 2 4上恰有3點到直線l的距離等於1，所以圓心到直線l的距離為1 所以 2 2 2 k k 2 1 1解得 k 1或k 7 第二題 你算對了 1 4根號2 根號11 3或 4根號...
有一首閩南哥歌詞有恰怡的是什麼歌
愛情的恰恰 想要甲你想要甲你來跳恰恰恰，不知你是不知你是走到叨位去。飲下去飲下去不通落氣，跳下去跳下去大家歡喜。手捧 杯愛情的手，要來祝福你，愛情的恰恰糖甘蜜甜，可惜身邊的人，不是不是不是你！我不會 但還是要微笑 有一首閩南歌歌詞裡有 講什麼 我愛你 的 應該是陳小云的 愛情 我問你 歌詞 講什麼 ...