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歐氏幾何
一、歐氏幾何的建立
歐氏幾何是歐幾里德幾何學的簡稱，其創始人是公元前三世紀的古希臘偉大數學家歐幾里德。在他以前，古希臘人已經積累了大量的幾何知識，並開始用邏輯推理的方法去證明一些幾何命題的結論。歐幾里德這位偉大的幾何建築師在前人準備的「木石磚瓦」材料的基礎上，天才般地按照邏輯系統把幾何命題整理起來，建成了一座巍峨的幾何大廈，完成了數學史上的光輝著作《幾何原本》。
這本書的問世，標誌著歐氏幾何學的建立。這部科學著作是發行最廣而且使用時間最長的書。後又被譯成多種文字，共有二千多種版本。
它的問世是整個數學發展史上意義極其深遠的大事，也是整個人類文明史上的里程碑。兩千多年來，這部著作在幾何教學中一直佔據著統治地位，至今其地位也沒有被動搖，包括我國在內的許多國家仍以它為基礎作為幾何教材。
二、一座不朽的豐碑
歐幾里德將早期許多沒有聯絡和未予嚴謹證明的定理加以整理，寫下《幾何原本》一書，使幾何學變成為一座建立在邏輯推理基礎上的不朽豐碑。這部劃時代的著作共分13卷，465個命題。其中有八卷講述幾何學，包含了現在中學所學的平面幾何和立體幾何的內容。
但《幾何原本》的意義卻絕不限於其內容的重要，或者其對定理出色的證明。真正重要的是歐幾里德在書中創造的一種被稱為公理化的方法。
在證明幾何命題時，每一個命題總是從再前一個命題推匯出來的，而前一個命題又是從再前一個命題推匯出來的。我們不能這樣無限地推導下去，應有一些命題作為起點。這些作為論證起點，具有自明性並被公認下來的命題稱為公理，如同學們所學的「兩點確定一條直線」等即是。
同樣對於概念來講也有些不加定義的原始概念，如點、線等。在一個數學理論系統中，我們儘可能少地先取原始概念和不加證明的若干公理，以此為出發點，利用純邏輯推理的方法，把該系統建立成一個演繹系統，這樣的方法就是公理化方法。歐幾里德採用的正是這種方法。
他先擺出公理、公設、定義，然後有條不紊地由簡單到複雜地證明一系列命題。他以公理、公設、定義為要素，作為已知，先證明了第一個命題。然後又以此為基礎，來證明第二個命題，如此下去，證明了大量的命題。
其論證之精彩，邏輯之周密，結構之嚴謹，令人歎為觀止。零散的數學理論被他成功地編織為一個從基本假定到最複雜結論的系統。因而在數學發展史上，歐幾里德被認為是成功而系統地應用公理化方法的第一人，他的工作被公認為是最早用公理法建立起演繹的數學體系的典範。
正是從這層意義上，歐幾里德的《幾何原本》對數學的發展起到了巨大而深遠的影響，在數學發展史上樹立了一座不朽的豐碑。
三、歐氏幾何的完善
公理化方法已經幾乎滲透於數學的每一個領域，對數學的發展產生了不可估量的影響，公理化結構已成為現代數學的主要特徵。而作為完成公理化結構的最早典範的《幾何原本》，用現代的標準來衡量，在邏輯的嚴謹性上還存在著不少缺點。如一個公理系統都有若干原始概念(或稱不定義概念)，如點、線、面就屬於這一類。
歐幾里德對這些都做了定義，但定義本身含混不清。另外，其公理系統也不完備，許多證明不得不藉助於直觀來完成。此外，個別公理不是獨立的，即可以由其他公理推出。
這些缺陷直到2023年德國數學家希爾伯特的在其《幾何基礎》出版時得到了完善。在這部名著中，希爾伯特成功地建立了歐幾里德幾何的完整、嚴謹的公理體系，即所謂的希爾伯特公理體系。這一體系的建立使歐氏幾何成為一個邏輯結構非常完善而嚴謹的幾何體系。
也標誌著歐氏幾何完善工作的終結。
非歐幾何學是一門大的數學分支，一般來講 ，他有廣義、狹義、通常意義這三個方面的不同含義。所謂廣義式泛指一切和歐幾裡的幾何學不同的幾何學，狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來說的，至於通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。
歐幾里得的《幾何原本》提出了五條公設，長期以來，數學家們發現第五公設和前四個公設比較起來，顯得文字敘述冗長，而且也不那麼顯而易見。
有些數學家還注意到歐幾里得在《幾何原本》一書中直到第二十九個命題中才用到，而且以後再也沒有使用。也就是說，在《幾何原本》中可以不依靠第五公設而推出前二十八個命題。
因此，一些數學家提出，第五公設能不能不作為公設，而作為定理？能不能依靠前四個公設來證明第五公設？這就是幾何發展史上最著名的，爭論了長達兩千多年的關於「平行線理論」的討論。
由於證明第五公設的問題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走的對不對？第五公設到底能不能證明？
到了十九世紀二十年代，**喀山大學教授羅巴切夫斯基在證明第五公設的過程中，他走了另一條路子。他提出了一個和歐式平行公理相矛盾的命題,用它來代替第五公設，然後與歐式幾何的前四個公設結合成一個公理系統，一系列的推理。他認為如果這個系統為基礎的推理中出現矛盾，就等於證明了第五公設。
我們知道，這其實就是數學中的反證法。
但是，在他極為細緻深入的推理過程中，得出了一個又一個在直覺上匪夷所思，但在邏輯上毫無矛盾的命題。最後，羅巴切夫斯基得出兩個重要的結論：
第一，第五公設不能被證明。
第二，在新的公理體系中的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定理，並形成了新的理論。這個理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴密的幾何學。
這種幾何學被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何。這是第一個被提出的非歐幾何學。
從羅巴切夫斯基創立的非歐幾何學中，可以得出一個極為重要的、具有普遍意義的結論：邏輯上互不矛盾的一組假設都有可能提供一種幾何學。
幾乎在羅巴切夫斯基創立非歐幾何學的同時，匈牙利數學家鮑耶·雅諾什也發現了第五公設不可證明和非歐幾何學的存在。鮑耶在研究非歐幾何學的過程中也遭到了家庭、社會的冷漠對待。他的父親——數學家鮑耶·法爾卡什認為研究第五公設是耗費精力勞而無功的蠢事，勸他放棄這種研究。
但鮑耶·雅諾什堅持為發展新的幾何學而辛勤工作。終於在2023年，在他的父親的一本著作裡，以附錄的形式發表了研究結果。
那個時代被譽為「數學王子」的高斯也發現第五公設不能證明，並且研究了非歐幾何。但是高斯害怕這種理論會遭到當時教會力量的打擊和**，不敢公開發表自己的研究成果，只是在書信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出來公開支援羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論。
什麼是歐氏幾何?
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歐氏幾何
歐氏幾何的建立
歐氏幾何是歐幾里德幾何學的簡稱，其創始人是公元前三世紀的古希臘偉大數學家歐幾里德。在他以前，古希臘人已經積累了大量的幾何知識，並開始用邏輯推理的方法去證明一些幾何命題的結論。歐幾里德這位偉大的幾何建築師在前人準備的「木石磚瓦」材料的基礎上，天才般地按照邏輯系統把幾何命題整理起來，建成了一座巍峨的幾何大廈，完成了數學史上的光輝著作《幾何原本》。
這本書的問世，標誌著歐氏幾何學的建立。這部科學著作是發行最廣而且使用時間最長的書。後又被譯成多種文字，共有二千多種版本。
它的問世是整個數學發展史上意義極其深遠的大事，也是整個人類文明史上的里程碑。兩千多年來，這部著作在幾何教學中一直佔據著統治地位，至今其地位也沒有被動搖，包括我國在內的許多國家仍以它為基礎作為幾何教材。
一座不朽的豐碑
歐幾里德將早期許多沒有聯絡和未予嚴謹證明的定理加以整理，寫下《幾何原本》一書，使幾何學變成為一座建立在邏輯推理基礎上的不朽豐碑。這部劃時代的著作共分13卷，465個命題。其中有八卷講述幾何學，包含了現在中學所學的平面幾何和立體幾何的內容。
但《幾何原本》的意義卻絕不限於其內容的重要，或者其對定理出色的證明。真正重要的是歐幾里德在書中創造的一種被稱為公理化的方法。
在證明幾何命題時，每一個命題總是從再前一個命題推匯出來的，而前一個命題又是從再前一個命題推匯出來的。我們不能這樣無限地推導下去，應有一些命題作為起點。這些作為論證起點，具有自明性並被公認下來的命題稱為公理，如同學們所學的「兩點確定一條直線」等即是。
同樣對於概念來講也有些不加定義的原始概念，如點、線等。在一個數學理論系統中，我們儘可能少地先取原始概念和不加證明的若干公理，以此為出發點，利用純邏輯推理的方法，把該系統建立成一個演繹系統，這樣的方法就是公理化方法。歐幾里德採用的正是這種方法。
他先擺出公理、公設、定義，然後有條不紊地由簡單到複雜地證明一系列命題。他以公理、公設、定義為要素，作為已知，先證明了第一個命題。然後又以此為基礎，來證明第二個命題，如此下去，證明了大量的命題。
其論證之精彩，邏輯之周密，結構之嚴謹，令人歎為觀止。零散的數學理論被他成功地編織為一個從基本假定到最複雜結論的系統。因而在數學發展史上，歐幾里德被認為是成功而系統地應用公理化方法的第一人，他的工作被公認為是最早用公理法建立起演繹的數學體系的典範。
正是從這層意義上，歐幾里德的《幾何原本》對數學的發展起到了巨大而深遠的影響，在數學發展史上樹立了一座不朽的豐碑。
歐氏幾何的完善
公理化方法已經幾乎滲透於數學的每一個領域，對數學的發展產生了不可估量的影響，公理化結構已成為現代數學的主要特徵。而作為完成公理化結構的最早典範的《幾何原本》，用現代的標準來衡量，在邏輯的嚴謹性上還存在著不少缺點。如一個公理系統都有若干原始概念(或稱不定義概念)，如點、線、面就屬於這一類。
歐幾里德對這些都做了定義，但定義本身含混不清。另外，其公理系統也不完備，許多證明不得不藉助於直觀來完成。此外，個別公理不是獨立的，即可以由其他公理推出。
這些缺陷直到2023年德國數學家希爾伯特的在其《幾何基礎》出版時得到了完善。在這部名著中，希爾伯特成功地建立了歐幾里德幾何的完整、嚴謹的公理體系，即所謂的希爾伯特公理體系。這一體系的建立使歐氏幾何成為一個邏輯結構非常完善而嚴謹的幾何體系。
也標誌著歐氏幾何完善工作的終結。
歐式幾何的意義
由於歐式幾何具有鮮明的直觀性和有著嚴密的邏輯演繹方法相結合的特點，在長期的實踐中表明，它巳成為培養、提高青、少年邏輯思維能力的好教材。歷史上不知有多少科學家從學習幾何中得到益處，從而作出了偉大的貢獻。
少年時代的牛頓在劍橋大學附近的夜店裡買了一本《幾何原本》，開始他認為這本書的內容沒有超出常識範圍，因而並沒有認真地去讀它，而對笛卡兒的「座標幾何」很感興趣而專心攻讀。後來，牛頓於2023年4月在參加特列臺獎學金考試的時候遭到落選，當時的考官巴羅博士對他說：「因為你的幾何基礎知識太貧乏，無論怎樣用功也是不行的。
」這席談話對牛頓的震動很大。於是，牛頓又重新把《幾何原本》從頭到尾地反覆進行了深入鑽研，為以後的科學工作打下了堅實的數學基礎。
近代物理學的科學巨星愛因斯坦也是精通幾何學，並且應用幾何學的思想方法，開創自己研究工作的一位科學家。愛因斯坦在回憶自己曾走過的道路時，特別提到在十二歲的時候「幾何學的這種明晰性和可靠性給我留下了一種難以形容的印象」。後來，幾何學的思想方法對他的研究工作確實有很大的啟示。
他多次提出在物理學研究工作中也應當在邏輯上從少數幾個所謂公理的基本假定開始。在狹義相對論中，愛因斯坦就是運用這種思想方法，把整個理論建立在兩條公理上：相對原理和光速不變原理。
在幾何學發展的歷史中，歐幾里得的《幾何原本》起了重大的歷史作用。這種作用歸結到一點，就是提出了幾何學的「根據」和它的邏輯結構的問題。在他寫的《幾何原本》中，就是用邏輯的鏈子由此及彼的幾何學，這項工作，前人未曾作到。
但是，在人類認識的長河中，無論怎樣高明的前輩和名家，都不可能把問題全部解決。由於歷史條件的限制，歐幾里得在《幾何原本》中提出幾何學的「根據」問題並沒有得到徹底的解決，他的理論體系並不是完美無缺的。比如，對直線的定義實際上是用一個未知的定義來解釋另一個未知的定義，這樣的定義不可能在邏輯推理中起什麼作用。
又如，歐幾里得在邏輯推理中使用了「連續」的概念，但是在《幾何原本》中從未提到過這個概念。
數學大俠幫幫忙，什麼是歐氏幾何，黎曼幾何，羅氏幾何
簡單地bai說，歐氏幾何是最 du普通的，也就是可以為常 zhi人所理解的幾何。在dao這個體系中，版過直線權外的一點，可以作，僅可作一根直線與之平行。羅氏空間裡，平行線定理可以寫作 過直線外的一點，可以作無數直線與之平行。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在 黎曼幾何是研究什麼空間的幾何問題的 羅氏幾...
什麼是黎曼幾何，黎曼幾何是什麼樣？
目前公認的有三種幾何體系 歐氏幾何 羅巴切夫斯機 鮑耶幾何 黎曼幾何，這三種幾何唯一的不同點就在於第五公設的不同。歐氏幾何第五公設是指過直線外一點有且僅有一條直線與已知直線平行。而羅氏幾何則不同，它規定了過直線外一點有無數條直線與已知直線平行。這樣三角形的內角和也就小於180度。黎曼從更高的角度統一...
數學幾何中什麼是仰角什麼是俯角數學幾何中什麼是仰角什麼是俯角？最好能有圖說明
仰角就是高於水平線的角度，俯角就是低於水平線的角度，換而言之，仰角就是往上看，俯角就是往下看。仰角是網上看 當觀察者抬頭望一物件時，其視線與水平線的夾角稱為仰角。俯角是向下看 當觀察者低頭望一物件時，其視線與水平線的夾角稱為俯角。幾何，就是研究空間結構及性質的一門學科。它是數學中最基本的研究內容之一...