線性代數題急求正交變換XPy,將二次型fx1,x

2021-03-19 18:20:58 字數 2353 閱讀 2713

1樓:匿名使用者

解: 二次型的矩陣 a =

5 -4 -2

-4 5 2

-2 2 2

|a-λe| =

5-λ -4 -2

-4 5-λ 2

-2 2 2-λ

r1+2r3,r2-2r3

1-λ 0 2(1-λ)

0 1-λ -2(1-λ)

-2 2 2-λ

c3+2c2

1-λ 0 2(1-λ)

0 1-λ 0

-2 2 6-λ

= (1-λ)[(1-λ)(6-λ)+4(1-λ)]= (1-λ)^2(10-λ)

所以 a 的特徵值為 λ1=λ2=1,λ3=10.

(a-e)x=0 的基礎解係為: a1=(1,1,0)',a2=(1,0,2)'

正交化得: b1=(1,1,0)',b2=(1/2)(1,-1,4)'

單位化得: c1=(1/√2,1/√2,0)',c2=(1/√18,-1/√18,4/√18)'

(a-10e)x=0 的基礎解係為: a3=(-2,2,1)'

單位化得: c3=(-2/3,2/3,1/3)'

令p=(c1,c2,c3)=

1/√2 1/√18 -2/3

1/√2 -1/√18 2/3

0 4/√18 1/3

則 p為正交矩陣

x=py是正交變換, 使

f = y1^2+y2^2+10y3^2

兩個線性代數問題 1.用正交變換x=py化二次型f(x1,x2,x3)=2x1^2+5x2^2+5x3^2+4x1x2-4x1x3-8x2x3934標準...

2樓:匿名使用者

a的特徵值為: 10,1,1

特徵向量分別為 a1=(1,2,-2)',a2=(2,-1,0)',a3=(2,4,5)--已正交

p=1/3 2√5 2/√45

2/3 -1√5 4/√45

-2/3 0 5/√45

則x=py是正交變換,且 f=10y1^2+y2^2+y3^2字數限制 無奈

大學數學,線性代數!急!設二次型 f(x1,x2)= 2x1^2 -4x1x2+5x2^2,求正交變換 x=py 將二次型化為標準形

3樓:匿名使用者

【解答】 (計算過程略)

1、求二次型矩陣a的特徵值,解特徵方程|λe-a|=0解得特徵值λ1=1,λ2=6

2、當λ=1時,求特徵向量為α1=(2,1)t當λ=6時,求特徵向量為α2=(-1,2)t3、由於是實對稱矩陣,所以不同特徵值的特徵向量已經正交,所以只需單位化

β1=(2/√5,1/√5)t,β2=(-1/√5,2/√5)t4、那麼令p=(β1,β2)經正交變換x=py,二次型化為標準型f(x1,x2)=xtax=ytby=y1²+6y2²【評註】

二次型正交變換化為標準型步驟為:

1、寫出二次型矩陣a

2、求矩陣a的特徵值

3、求矩陣a的特徵向量

4、改造特徵向量(單位化,schmidt正交化)β1,β2,...

5、構造正交矩陣p=(β1,β2,...,βn)則經過座標換x=py,得

xtax=ytby=λ1y1²+λ2y2²+...+λnyn²【注意】

特徵值的順序與正交矩陣p中對應的特徵向量的順序是一致的。

newmanhero 2023年4月10日20:31:13

希望對你有所幫助,望採納。

求正交變換x=py ,將二次型f(x1,x2,x3)=2x1^2+2x2^2+2x3^2-2x1x2-2x1x3-2x2x3 化為標準形,並寫出其標準形

4樓:匿名使用者

^解: 二次型的矩陣a=

2 -1 -1

-1 2 -1

-1 -1 2

|a-λe| = -λ(λ-3)^2

所以a的特徵值為 3,3,0

(a-3e)x=0的基礎解係為 a1=(1,-1,0)^t,a2=(1,1,-2)^t [正交]

ax=0的基礎解係為 a3=(1,1,1)^t單位化得

b1=(1/√2,-1/√2,0)^t,b2=(1/√6,1/√6,-2/√6)^t,b3=(1/√3,1/√3,1/√3)^t

令q=(b1,b2,b3)=

1/√2 1/√6 1/√3

-1/√2 1/√6 1/√3

0 -2/√6 1/√3

則q是正交矩陣, x=qy是正交變換,

且f=3y1^2+3y2^2.

線性代數正交變換化為標準型問題,線性代數利用正交變換法將二次型化為標準型的問題

1 1,2,3 分別取值 3,1,4 1可以是 1或4 這裡要注意 1取值不同,後面的計算特徵向量 1 就不一樣了。2 在正交變換下,a不僅和b合同,而且與b相似,即a,b特徵值相同。ptap b,ab合同,p 1ap b,ab相似。評註 掌握用正交變換化二次型為標準型的方法,標準型中平方項的係數就...

求正交變換x py將下列二次型化成標準型f 2 X1 2 3 X2 2 3 X3 2 2X2X

解 a 2 0 0 0 3 1 0 1 3 a 自e 2 3 2 1 2 2 4 所以a的特徵值為 2,2,4 a 2e x 0 的基礎解係為 a1 1,0,0 t,a2 0,1,1 t a 4e x 0 的基礎解係為 a3 0,1,1 t已正交.單位化構成正交矩陣p 1 0 0 0 1 2 1 2...

線性代數求高手解題,線性代數。求解析!急!

1 證明 a a 0,a a e 0,若r a e n,等式兩端右乘 a e 1,得a 0,與已知a為n階非零矩陣矛盾。所以r a e n,即 a e 0,那麼根據特徵方程 e a 0知,1必是a的特徵值。同理 1必是b的特徵值。評註 本題是利用秩來解答,根據特徵值計算公式得出結論。若r e a n...