1樓：小苒
(43) 平面法向量的求法及其應用
嵩明縣一中 吳學偉
引言：本節課介紹平面法向量的三種求法,並對平面法向量在高中立體幾何中的應用作歸納和總結。其中重點介紹外積法求平面法向量的方法，因為此方法比內積法更具有優越性,特別是在求二面角的平面角方面。
此方法的引入，將對高考立體幾何中求空間角、求空間距離、證明垂直、證明平行等問題的解答變得快速而準確，那麼每年高考中那道12分的立體幾何題將會變得更加輕鬆。
一、 平面的法向量
1、定義：如果 ，那麼向量 叫做平面 的法向量。平面 的法向量共有兩大類（從方向上分），無數條。
2、平面法向量的求法
方法一(內積法):在給定的空間直角座標系中，設平面 的法向量 [或 ，或 ]，在平面 內任找兩個不共線的向量 。由 ，得 且 ，由此得到關於 的方程組，解此方程組即可得到 。
方法二：任何一個 的一次次方程的圖形是平面；反之，任何一個平面的方程是 的一次方程。 ，稱為平面的一般方程。
其法向量 ;若平面與3個座標軸的交點為 ,如圖所示,則平面方程為: ,稱此方程為平面的截距式方程，把它化為一般式即可求出它的法向量。
方法三(外積法): 設 , 為空間中兩個不平行的非零向量，其外積 為一長度等於 ，（θ為 , 兩者交角，且 ），而與 , 皆垂直的向量。通常我們採取「右手定則」，也就是右手四指由 的方向轉為 的方向時，大拇指所指的方向規定為 的方向, 。
（注：1、二階行列式: ；2、適合右手定則。）
例1、 已知， ，
試求（1）： （2）：
key: (1) ;
例2、如圖1-1,在稜長為2的正方體 中，
求平面aef的一個法向量 。
二、 平面法向量的應用
1、 求空間角
(1)、求線面角：如圖2-1，設 是平面 的法向量，
ab是平面 的一條斜線， ，則ab與平面
所成的角為：
圖2-1-1:
圖2-1-2:
(2)、求面面角:設向量 ， 分別是平面 、 的法向量，則二面角 的平面角為：
（圖2-2）;
(圖2-3)
兩個平面的法向量方向選取合適,可使法向量夾角就等於二面角的平面角。約定，在圖2-2中， 的方向對平面 而言向外， 的方向對平面 而言向內；在圖2-3中， 的方向對平面 而言向內， 的方向對平面 而言向內。我們只要用兩個向量的向量積（簡稱「外積」，滿足「右手定則」）使得兩個半平面的法向量一個向內一個向外，則這兩個半平面的法向量的夾角即為二面角 的平面角。
2、 求空間距離
（1）、異面直線之間距離:
方法指導：如圖2-4,①作直線a、b的方向向量 、 ，
求a、b的法向量 ，即此異面直線a、b的公垂線的方向向量；
②在直線a、b上各取一點a、b，作向量 ；
③求向量 在 上的射影d，則異面直線a、b間的距離為
,其中（2）、點到平面的距離:
方法指導：如圖2-5,若點b為平面α外一點，點a
為平面α內任一點，平面的法向量為 ，則點p到
平面α的距離公式為
（3）、直線與平面間的距離:
方法指導：如圖2-6,直線 與平面 之間的距離：
，其中 。 是平面 的法向量
（4）、平面與平面間的距離:
方法指導：如圖2-7,兩平行平面 之間的距離：
，其中 。 是平面 、 的法向量。
3、 證明
（1）、證明線面垂直：在圖2-8中, 向是平面 的法向量， 是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量共線（ ）。
（2）、證明線面平行：在圖2-9中, 向是平面 的法向量， 是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量垂直（ ）。
（3）、證明面面垂直：在圖2-10中， 是平面 的法向量， 是平面 的法向量，證明兩平面的法向量垂直（ ）
（4）、證明面面平行：在圖2-11中, 向是平面 的法向量， 是平面 的法向量，證明兩平面的法向量共線（ ）。
三、高考真題新解
1、（2005全國i，18）（本大題滿分12分）
已知如圖3-1,四稜錐p-abcd的底面為直角梯形，ab‖dc， 底面abcd，且pa=ad=dc= ab=1，m是pb的中點
（ⅰ）證明：面pad⊥面pcd；
（ⅱ）求ac與pb所成的角；
（ⅲ）求面amc與面bmc所成二面角的大小
解:以a點為原點,以分別以ad，ab，ap為x軸，y軸，z軸，建立空間直角座標系a-xyz如圖所示.
， ，設平面pad的法向量為
， ，設平面pcd的法向量為
， ，即平面pad 平面pcd。
， ，， ，設平在amc的法向量為 .
又 ,設平面pcd的法向量為 .
.面amc與面bmc所成二面角的大小為 .
2、(2023年雲南省第一次統測19題) (本題滿分12分)
如圖3-2，在長方體abcd－a1b1c1d1中，
已知ab＝aa1＝a，bc＝ a，m是ad的中點。
(ⅰ)求證：ad‖平面a1bc；
(ⅱ)求證：平面a1mc⊥平面a1bd1；
(ⅲ)求點a到平面a1mc的距離。
解:以d點為原點,分別以da,dc,dd1為x軸,y軸,z軸,建立空間直角座標系d-xyz如圖所示.
, ,設平面a1bc的法向量為
又 , , ,即ad//平面a1bc.
, ,設平面a1mc的法向量為: ,
又 , ,設平面a1bd1的法向量為: ,
, ,即平面a1mc 平面a1bd1.
設點a到平面a1mc的距離為d,
是平面a1mc的法向量,
又 , a點到平面a1mc的距離為: .
四、 用空間向量解決立體幾何的「三步曲」
(1)、建立空間直角座標系(利用現有三條兩兩垂直的直線，注意已有的正、直條件,相關幾何知識的綜合運用，建立右手系)，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；（化為向量問題）
（2）、通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關係以及它們之間距離和夾角等問題；（進行向量運算）
（3）、把向量的運算結果「翻譯」成相應的幾何意義。（回到圖形問題）
2樓：匿名使用者
用向量的外積來做,先選兩個面上的不共線的向量，然後做外積即可.
關於外積怎麼做,可以參考大學一年級的解析幾何.
空間向量中,如何求平面的法向量
3樓：匿名使用者
已知一個平面的兩個法向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2) 其中x1,x2,y1,y2,z1,z2均為已知
設平面法向量為n=(x,y,z)
n為平面的法向量則
n*a=0 x*x1+y*y1+z*z1=0n*b=0 x*x2+y*y2+z*z2=0兩個方程，三個未知數x,y,z
故設出其中一個，例如設x=1（不能為0），從而求出y,z的值，即可得到平面的一個法向量，因為平面的法向量有無數個，且模可以任意，故可以這樣假設
4樓：匿名使用者
ax+by+cz+d=0 ，三元一次方程就是一個平面的一般方程。
一個平面方程的法向量就是三元一次方程中x,y,z的係陣列合向量，即：向量n=就是ax+by+cz+d=0的法向量.也可以寫成：
法向量n=a向量i+b向量j+c向量k,向量i,向量j,向量k分別是x,y,z的單位向量。
以x+2y+z=4為例，它的法向量是 向量n=(1,2,1)是平面x+2y+z-4=0的法向量。
一些特例，若a=0,向量n=(0,b.c)垂直於x軸，它所代表的平面by+cz+d=0則平行於x軸。同理，ax+cz+d=0平行於y軸，法向量n=(a,0,c)垂直於y軸；ax+by+d=0平行於z軸，法向量n=(a,b,0)垂直於z軸。
當d=0時，平面過原點。
知道三個點怎麼求那個平面的法向量~
5樓：韓苗苗
設a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),c(x3,y3,z3)是已知平面上的3個點
a,b,c可以形成3個向量,向量ab,向量ac和向量bc
則ab（x2-x1,y2-y1,z2-z1）,ac(x3-x1,y3-y1,z3-z1),bc(x3-x2,y3-y2,z3-z2)
設平面的法向量座標是（x,y,z）
有(x2-x1)*x+(y2-y1)*y+(z2-z1)*z=0 且(x3-x1)*x+(y3-y1)*y+(z3-z1)*z=0 且(x3-x2)*x+(y3-y2)*y+(z3-z2)*z=0
可以解得x,y,z。
擴充套件資料
平面，是指面上任意兩點的連線整個落在此面上，一種二維零曲率廣延，這樣一種面，它與同它相似的面的任何交線是一條直線。
三維平面的法線是垂直於該平面的三維向量。曲面在某點p處的法線為垂直於該點切平面（tangent plane）的向量。
如果曲面在某點沒有切平面，那麼在該點就沒有法線。例如，圓錐的頂點以及底面的邊線處都沒有法線，但是圓錐的法線是幾乎處處存在的。通常一個滿足lipschitz連續的曲面可以認為法線幾乎處處存在。
對於立體表面而言，法線是有方向的：一般來說，由立體的內部指向外部的是法線正方向，反過來的是法線負方向。
曲面法線的法向不具有唯一性；在相反方向的法線也是曲面法線。定向曲面的法線通常按照右手定則來確定。
6樓：鄙視04號
已知：a，b，c三點，求平面abc的法向量過程如下：
其中可以任意設一個a的值，然後通過解二元一次方程即可解出b、c的值。
例：已知空間三點a（0，0，2），b（0，2，2），c（2，0，2），求平面abc的一個法向量．
解：∵空間三點a（0，0，2），b（0，2，2），c（2，0，2）
7樓：匿名使用者
利用向量積可以求出和平面垂直的向量
設三點座標為a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),c(x3,y3,z3)
向量ab=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),ac=(x3-x1,y3-y1,z3-z1)
ab、ac所在平面的法向量即ab×ac=(a,b,c),其中：
a=(y2-y1)(z3-z1)-(z2-z1)(y3-y1)b=(z2-z1)(x3-x1)-(z3-z1)(x2-x1)c=(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)
如何求平面的法向量，在數學中，「平面的法向量」要怎麼求？
在平面內找兩個不共線的向量，待求的法向量與這兩個向量各做數量積為零就可以確定出法向專 量了，屬為方便運算，提取公因數，若其中含有未知量x，為x代值即可得到一個最簡單的法向量。如已知向量a和b為平面 內不共線的兩個非零向量，且a x1，y1，z1 b x2，y2，z2 設n為平面 的一個法向量，n x...
給空間向量座標求它的法向量,給三個空間向量座標求它的法向量
法向量是相對於一個平面來說的，這三個向量構不成一個平面。知道三個點怎麼求那個平面的法向量 設a x1,y1,z1 b x2,y2,z2 c x3,y3,z3 是已知平面上的3個點 a,b,c可以形成3個向量,向量ab,向量ac和向量bc 則ab x2 x1,y2 y1,z2 z1 ac x3 x1,...
建立空間直角座標系，平面法向量怎麼求大概思路
沒有定義一個向量的法向量 只有兩個向量的垂直定義 兩個向量垂直,則它們對應分量的乘積之和等於0 如 x1,x2,x3 與 2,6,10 垂直 2x1 6x2 10x3 0 平面的法向量即與兩個已知向量都垂直的向量,有無窮多,解方程即得 求出二面角兩個半面的法向量，其夾角即為二面角或二面角的互補角，至...