1樓：分割**
反證法：假設√3是有理數。
1^2< (√3)^2<2^2
1<√3<2,所以√3不是整數，
設√3=p/q ，p和q互質
把 √3=p/q 兩邊平方
3=(p^2)/(q^2)
3(q^2)=p^2
3q^2是3的倍數數，p 必定3的倍數，設p=3k3(q^2)=9(k^2)
q^2=3k^2
同理q也是3的倍數數，
這與前面假設p，q互質矛盾。
因此√3是無理數。
2樓：類嘉容芒琪
方法一：假設根號3=p/q(p、q為互質整數），則p^2=3q^2
所以3整除p^2,因3是質數，所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾，所以根號3是無理數
方法二：設x=根號3，則有方程x^2=3
假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數），根據牛頓有理根定理p整除3，q整除1,所以p=1或3,q=1，從而x=1或3，顯然x=1或3不是方程x^2=3的根，矛盾。
方法三：設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1
根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√**)s+(√3q)t=3qs+pt為整數，矛盾
3樓：蓬晴畫卜淼
反證：假設√3是有理數，不妨設：
√3＝p/q
其中（p,q）=1
則有，p^2=3q^2
因為(p,q)=1，所以(p^2,q^2)=1故可得：3|p^2
得：3|p^2
故可設p=3k
由√3＝p/q
得：√3＝3k/q
(k,q)=1
得：q=3k^2
由上，同樣可證：3|q^2
因此，3是p^2與q^2的公約數
這與(p,q)=1矛盾。
綜上所述，√3為無理數。
4樓：鞠良驥文暄
首先你要知道任何一個有理數均可以表示成p/q的形式（pq均為不為0的整數
且互質）
假設根號3是有理數
且可以表示成p/q
有3=p^2/q^2
p^2=3q^2
p^2是3的倍數
那麼p也是3的倍數
設p=3k
有9k^2=3q^2
3k^2=q^2
所以q^2是3的倍數
q也是3的倍數
設q=3m
可見pq有公約數3
與pq互質矛盾
5樓：黃昏小宇
樓上的那個人的證明貌似有問題將3換成4得到的結論是根號4也是無理數
6樓：
證明：假設√3不是無理數，而是有理數。
既然√3是有理數，它必然可以寫成兩個整數之比的形式：
√3=p/q
又由於p和q沒有公因數可以約去，所以可以認為p/q 為既約分數,即最簡分數形式。
把 √3=p/q 兩邊平方
得 3=(p^2)/(q^2)
即3(q^2)=p^2
由於3q^2是3的倍數數，p 必定3的倍數，設p=3m由 23(q^2)=9(m^2)
得 q^2=3m^2
同理q必然也為偶數，設q=3n
既然p和q都是3的倍數，他們必定有公因數3，這與前面假設p/q是既約分數矛盾。這個矛盾是有假設√3是有理數引起的。因此√3是無理數。
7樓：緣隨雨
反證法：
假設結論不成立（接下來用a表示根號3，因為不好打），即a為有理數，
那麼存在正整數p和q（p,q無公因子，或稱互質）,使得a=p/q(有理數的性質)，兩邊平方，得到
p^2=3*q^2,
接下來分析，（具體過程可以有多種，但是都是從公因子3入手，引出矛盾）
因為等號右邊有因子3，且3為質數，因此p一定是3的倍數，設p=3r,代入等式並約分得到，
3*r^2=q^2
同理，q也一定是3的倍數，於是p、q均為3的倍數，與p、q互質矛盾。
故有反證法的原理，知a為無理數
怎麼證明根號三是無理數
8樓：史初然乜魄
^以下是我搜來的。。
方法一：假設
根號3=p/q(p、q為互質整數），則p^2=3q^2所以3整除p^2,因3是質數，所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾，所以根號3是無理數方法：設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1
根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√**)s+(√3q)t=3qs+pt為整數，矛盾
9樓：匿名使用者
證明根號3是無理數，使用反證法
如果√3是有理數，必有√3=p/q（p、q為互質的正整數）兩邊平方：3=p^2/q^2
p^2=3q^2
顯然p為3的倍數，設p=3k（k為正整數）有9k^2=3q^2 即q^2=3k^2
於是q也是3的倍數，與p、q互質矛盾
∴假設不成立，√3是無理數
10樓：節天千娟妍
反證法：
假設結論不成立（接下來用a表示根號3，因為不好打），即a為有理數，那麼存在正整數p和q（p,q無公因子，或稱互質）,使得a=p/q(有理數的性質)，兩邊平方，得到
p^2=3*q^2,
接下來分析，（具體過程可以有多種，但是都是從公因子3入手，引出矛盾）因為等號右邊有因子3，且3為質數，因此p一定是3的倍數，設p=3r,代入等式並約分得到，
3*r^2=q^2
同理，q也一定是3的倍數，於是p、q均為3的倍數，與p、q互質矛盾。
故有反證法的原理，知a為無理數
關於證明「根號3為無理數」的一些問題
11樓：匿名使用者
反證法：若根號
2加根號3是分數（即整數與整數的比）或說是有理數吧則平方以版後也應是有理權數即5+2根號6也是有理數即根號6是有理數顯然根號6只能是分數，不妨設此分數約至最簡時為b/a 則a,b互質，否則還可約 6=b^2/a^2 即b^2=6a^2 所以b^2為6的倍數（即為2，3的倍數）所以b為2，3的倍數（即為6的倍數）所以b^2為36的倍數，即6a^2為36的倍數推得a^2被6整除，矛盾於a,b互質因此根號6是無理數，即根號2加根號3是無理數
如何證明根號3是無理數？？？？？？？
12樓：淺唱湘雪
剛做過這種題目……我想想哈。
無理數是不能夠被寫成兩個整數比的
設根號3=a/b（a和b是互版質的整數，公約數權只有1）
則3=a²/b²
∴a²=3b²
可以得出a是3的倍數 ，設a=3n
∴（3n）²=3b²
這就跟a/b中a和b是互質的兩個整數相悖逆，因為a和b有公約數3，也就是用反證法的方式證明根號3是無理數
全部手打tat
13樓：匿名使用者
^方法一來：假設根號3=p/q(p、q為互質整數），源則p^2=3q^bai2
所以du3整除
zhip^2,因3是質dao
數，所以3整除p,可設p=3t,則q^2=3t^2,所以3整除q因此p和q有公約數3,與p和q互質矛盾，所以根號3是無理數方法二：設x=根號3，則有方程x^2=3
假設x^2=3有有理數解x=p/q(p、q為互質整數），根據牛頓有理根定理p整除3，q整除1,所以p=1或3,q=1，從而x=1或3，顯然x=1或3不是方程x^2=3的根，矛盾。
方法三：設x=根號3=p/q,(p,q)=1,所以存在整數s,t使ps+qt=1
根號3=根號3*1=根號3(ps+qt)=(√**)s+(√3q)t=3qs+pt為整數，矛盾
14樓：晁溫嶽雁
證明:若
3是有理bai數，則3=p/q;(p,q是du互素的整數zhi,即p,q的最大
dao約數是1)
則有3q=p;
則可令p=3k;(k大於專0的整數)
可得q=k;
但是k,3k的最大公約數為
屬k即p,q的最大公約數為k;
這與最大公數約為1矛盾。
故3不是有理數，即是無理數。
15樓：脫廷謙頻鵑
設根號3不是無理復
數，設制根號三=p/q（有理數可寫成分數形式，pq是互質的兩正整數）兩邊平方p^2=3q^2
p是3的倍數
設p=3m(m為正整數)
9m^2=3q^2
q^2=3m^2
q也是3的倍數
與pq互質相矛盾。所以根號3不是有理數。
16樓：軍毅應依薇
剛做種復
題目……我想制想哈
理數能夠寫兩整數比
設根號bai
3=a/b(ab互質整數
公約數du
1)則3=a²/b²
∴zhia²=3b²
a3倍數
設a=3n
∴(3n)²=3b²
跟a/bab互質兩整數相dao悖逆ab公約數3用反證式證明根號3理數全部手打tat
17樓：瑞嫚書香天
假設根號bai3是無理數,則根號3可以表示為duq/p(其中q.p互質zhi)
所以有3=q^dao2/p^2
q^2=**^2
顯然,q含有3這個約數.所以q^2是9的倍數.所以p^2是3的倍數只有含有3這個約數的平方才有3的倍數.
所以p也是3的倍數既然q.p都是3的倍數.與原先假設的,qp互質矛盾.
所以根號3是無理數.
18樓：匿名使用者
用反證法
假設根號
bai3是有理數，du則必然能寫成最簡分zhi數n/m,n與m為互質整數。
令 根號dao3=x
x的平內方=3=n的平方/m的平方
3為正整容數，同時也是有理數，n的平方與m的平方互質（由n與m為互質整數得出）即不存在公約數，則m的平方必為1（不然無法等於一個整數3） 3=n的平方=x的平方
推出根號3=x=n, 由於n為整數，則根號3也為整數，顯然是不對的，所以
根號3為無理數
怎樣證明根號3是無理數
19樓：**座小茶葉
用反證bai法。假設√3是有理數，du則任何一個zhi有理數都可以表示為既約
dao分數m/n（即內：m、n為整數，且互質容）因此√3=m/n，得3=m^2/n^2，即m^2=3*n^2，因此m^2含有3的因數，因此m含有3的因數
假設m=**，則：（**）^2=3*n^2，得n^2=**^2,因此n^2含有3的因數，因此n含有3的因數
所以，m、n均含有3的因素，與m、n互為質數矛盾，因此√3是無理數這是一個通用的證法，可以證明√2、√5、√6等等是無理數。
20樓：匿名使用者
^^：假設√3是
。1^2< (√3)^2<2^2
1<√3<2,所以√3不是整數，
設√3=p/q ，p和q
把 √3=p/q 兩邊平內方
3=(p^2)/(q^2)
3(q^2)=p^2
3q^2是3的倍數數，p 必定
容3的倍數，設p=3k
3(q^2)=9(k^2)
q^2=3k^2
同理q也是3的倍數數，
這與前面假設p，q
矛盾。因此√3是
。這是別人的答案
21樓：都夏煙梅海
^呵，試試來看假設√3是有理數，不妨令：源√3＝baip/q 其中（p,q）=1
則有，p^du2=3q^2
因為zhi(p,q)=1，所以(p^2,q^2)=1故可dao得：3|p^2
得：3|p^2
故可設p=3k
由√3＝p/q得√3＝3k/q (k,q)=1得：q=3k^2
由上，同樣可證：3|q^2
因此，3是p^2與q^2的公約數
這與(p,q)=1矛盾。
綜上所述，√3為無理數。
注：(p,q)=1是p,q互質的意思。
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