線性代數求逆矩陣,線性代數中的逆矩陣是怎麼求的?

2021-04-17 16:51:39 字數 2841 閱讀 9031

1樓:喬才心邪

另外你發的那個題裡,有個三階的對角矩陣,求逆只需要把主對角線元素取導數就行了,所以分塊求的話,比較簡單。不懂追問哦

線性代數中的逆矩陣是怎麼求的?

2樓:喵喵喵

1、待定係數法

待定係數法顧名思義是一種求未知數的方法。將一個多項式表示成另一種含有待定係數的新的形式,這樣就得到一個恆等式。

然後根據恆等式的性質得出係數應滿足的方程或方程組,其後通過解方程或方程組便可求出待定的係數,或找出某些係數所滿足的關係式,這種解決問題的方法叫做待定係數法。

2、伴隨矩陣法

代數餘子式求逆矩陣:如果矩陣a可逆,則

(|a|≠0,|a|為該矩陣對應的行列式的值)

3、初等變換法

方法是一般從左到右,一列一列處理先把第一個比較簡單的(或小)的非零數交換到左上角(其實最後變換也行),用這個數把第一列其餘的數消成零處理完第一列後,第一行與第一列就不用管,再用同樣的方法處理第二列(不含第一行的數)

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性質定理:

1、可逆矩陣一定是方陣。

2、如果矩陣a是可逆的,其逆矩陣是唯一的。

3、a的逆矩陣的逆矩陣還是a。記作(a-1)-1=a。

4、可逆矩陣a的轉置矩陣at也可逆,並且(at)-1=(a-1)t (轉置的逆等於逆的轉置)

5、若矩陣a可逆,則矩陣a滿足消去律。即ab=o(或ba=o),則b=o,ab=ac(或ba=ca),則b=c。

6、兩個可逆矩陣的乘積依然可逆。

7、矩陣可逆當且僅當它是滿秩矩陣。

3樓:風清響

-----------首先你要了解初等變換。------------------

初等變換就3種。

1. e12 就是吧12行(列)互換

2. e12(k)就是把第1行(列)的k倍加到第2(行)

3. e1(k)就是把第1行都乘上k

怎樣化行最簡:

這個其實很簡單,一步一步來不要話錯了就行了。無非就是要化成階梯形,然後再把階梯開頭的元素化為1,他頭頂上的元素化為0嘛

比如一個4階矩陣。

首先你要把第一列,除了第一個元素都化成0。那麼顯然,就是用第二行,第三行,第四行,去減第一行的k倍。假設。

第一行是(1,2,3,4)第二行第一個元素是3,那麼你用第二行減去第一行的3倍的話,頭一個元素不就肯定是0了嗎。然後假設第三行第一個元素是4,那麼就是第三行減去第一行的4倍。同理第四行也是一樣的。

此時你只要關注第一列的元素就行了,全力把他們化為0。等到完成的時候,矩陣就變成

1 2 3 4

0 * * *

0 * * *

0 * * *

這樣就出來一個階梯了對吧。

下面就是重複上面的工作。不過。不要在整個矩陣裡面進行了,因為如果你帶著第一行算的話,前面的0就肯定會被破壞了。

下面你就直接在* 的那個3階矩陣裡面進行。把原來的第二行 0 * * *當作第一行來化下面的,

完工之後就是

1 2 3 4

0 * * *

0 0 * *

0 0 * *

不就又出來一個階梯嗎。

反覆這麼做最後就化成

1 2 3 4

0 * * *

0 0 * *

0 0 0 *

這個就是階梯形了吧。。

然後化最簡形就很簡單了。用初等變化的第3條。顯然我們可以吧最後一行的那個*除以他自己變成1

1 2 3 4

0 * * 4

0 0 * 4

0 0 0 1

然後他頭上的數,不論是多少都可以寫成0,因為不論是多少,總可以化為0吧,如果是2012,就減去第四行的2012倍嘛,反正第四行只有一個1,前面都是0,怎麼減都不會影響到前面的行

這樣就化成了

1 2 3 0

0 * * 0

0 0 * 0

0 0 0 1

很顯然,重複上面的過程就可以了,現在只要把第三行的那個*,除以自己,變成1,然後他頭上的也就全可以化為0了

1 2 0 0

0 * 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

再來一次。就ok了嘛

比如你求a的逆矩陣,就是把a的右邊拼上一個同階的單位陣變成(a|e)

1 2 3 1 0 0

4 5 6 0 1 0

7 8 9 0 0 1

然後把這個矩陣當作新的矩陣,然後就把左面那個部分化成單位陣(方法就是化最簡型嘛),當你把左面的部分化成單位陣之後,右邊就自動是a的逆矩陣了

(e|a逆)

就是這樣。嗯

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線性代數,求a的逆矩陣

4樓:麻木

將一n階可逆矩陣a和n階單位矩陣i寫成一個nx2n的矩陣b=[a|i]對b施行初等行變換,即對a與i進行完全相同的若干初等行變換,目標是把a化為單位矩陣。當a化為單位矩陣i的同時,b的右一半矩陣同時化為了a的逆矩陣。

如果矩陣a和b互逆,則ab=ba=i。由條件ab=ba以及矩陣乘法的定義可知,矩陣a和b都是方陣。再由條件ab=i以及定理「兩個矩陣的乘積的行列式等於這兩個矩陣的行列式的乘積」可知,這兩個矩陣的行列式都不為0。

也就是說,這兩個矩陣的秩等於它們的級數(或稱為階,也就是說,a與b都是方陣,且rank(a) = rank(b) = n)。換句話說,這兩個矩陣可以只經由初等行變換,或者只經由初等列變換,變為單位矩陣。

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