設X,Y為賦範線性空間,X 0,B X,Y 是X到Y的有界線性運算元全體的集合。證明 若B X,Y 是完備的,則Y是完備

2021-04-20 00:57:20 字數 5390 閱讀 2128

1樓:匿名使用者

||取定z中的cauchy列,z(1),...z(n),...

取z的子列y,y(1),...,y(n),...滿足||y(2)-y(1)||+||y(3)-y(2)||+...+||y(n+1)-y(n)||+...有限

首先,取定x中某個非零元版x,定權義從x張成的一維線性空間span到y的線性對映f(i),f(i)(cx)=cy(i)。易知,||f(i)||一致有界。定義f(0)為恆等於0的對映

利用hahn-banach定理,歸納的定義f(m)在整個空間x上的擴張。滿足,||f(m+1)-f(m)||=||y(m+1)-y(m)||(利用f(m+1)-f(m)也是span的線性對映)。顯然,f(0),...

,f(n),...也是cauchy列。由完備性,收斂到f。

然後由於f(i)(x)收斂到f(x),得到序列y收斂到f(x) 。最後,容易證明序列z也收斂到f(x)

高中數學向量公式

2樓:

設a=(x,y),b=(x',y').

1、向量的加法

向量加法的運算律:

交換律:a+b=b+a;

結合律:(a+b)+c=a+(b+c).

2、向量的減法

如果a、b是互為相反的向量,那麼a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量為0

ab-ac=cb.即「共同起點,指向被減」

a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y').

4、數乘向量

向量對於數的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.

數對於向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.

擴充套件資料

表達方式

1、代數表示

一般印刷用黑體的小寫英文字母(a、b、c等)來表示,手寫用在a、b、c等字母上加一箭頭(→)表示,如

2、幾何表示

向量可以用有向線段來表示。有向線段的長度表示向量的大小,向量的大小,也就是向量的長度。長度為0的向量叫做零向量,記作長度等於1個單位的向量,叫做單位向量。

3樓:demon陌

設a=(x,y),b=(x',y').

1、向量的加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則.

ab+bc=ac.

a+b=(x+x',y+y').

a+0=0+a=a.

向量加法的運算律:

交換律:a+b=b+a;

結合律:(a+b)+c=a+(b+c).

2、向量的減法

如果a、b是互為相反的向量,那麼a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量為0

ab-ac=cb.即「共同起點,指向被減」

a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y').

3、數乘向量

實數λ和向量a的乘積是一個向量,記作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.

當λ>0時,λa與a同方向;

當λ<0時,λa與a反方向;

當λ=0時,λa=0,方向任意.

當a=0時,對於任意實數λ,都有λa=0.

注:按定義知,如果λa=0,那麼λ=0或a=0.

實數λ叫做向量a的係數,乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮.

當∣λ∣>1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍;

當∣λ∣<1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍.

數與向量的乘法滿足下面的運算律

結合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).

向量對於數的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.

數對於向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.

數乘向量的消去律:

① 如果實數λ≠0且λa=λb,那麼a=b.

② 如果a≠0且λa=μa,那麼λ=μ.

4、向量的的數量積

定義:兩個非零向量的夾角記為〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π]

定義:兩個向量的數量積(內積、點積)是一個數量,記作a·b.若a、b不共線,則a·b=|a|·|b·cos〈a,b〉;若a、b共線,則a·b=+-∣a∣∣b∣.

向量的數量積的座標表示:a·b=x·x'+y·y'.

向量的數量積的運算率

a·b=b·a(交換率);

(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);

向量的數量積的性質

a·a=|a|的平方.

a⊥b 〈=〉a·b=0.

|a·b|≤|a|·|b|.

向量的數量積與實數運算的主要不同點

1)向量的數量積不滿足結合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2.

2)向量的數量積不滿足消去律,即:由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.

3)|a·b|≠|a|·|b|

4)由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b

4、向量的向量積

定義:兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個向量,記作a×b.若a、b不共線,則a×b的模是:

∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直於a和b,且a、b和a×b按這個次序構成右手系.若a、b共線,則a×b=0.

向量的向量積性質:

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積.

a×a=0.

a∥b〈=〉a×b=0.

向量的向量積運算律

a×b=-b×a;

(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

(a+b)×c=a×c+b×c.

注:向量沒有除法,「向量ab/向量cd」是沒有意義的.

擴充套件資料:

向量的記法:印刷體記作粗體的字母(如a、b、u、v),書寫時在字母頂上加一小箭頭「→」。 如果給定向量的起點(a)和終點(b),可將向量記作ab(並於頂上加→)。

在空間直角座標系中,也能把向量以數對形式表示,例如oxy平面中(2,3)是一向量。

在物理學和工程學中,幾何向量更常被稱為向量。許多物理量都是向量,比如一個物體的位移,球撞向牆而對其施加的力等等。與之相對的是標量,即只有大小而沒有方向的量。

一些與向量有關的定義亦與物理概念有密切的聯絡,例如向量勢對應於物理中的勢能。

研究向量空間一般會涉及一些額外結構。額外結構如下:

1 一個實數或複數向量空間加上長度概念。就是範數稱為賦範向量空間。

2 一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念,稱為內積空間。

3 一個向量空間加上拓撲學符合運算的(加法及標量乘法是連續對映)稱為拓撲向量空間。

4 一個向量空間加上雙線性運算元(定義為向量乘法)是個域代數。

概念:2 向量的模:有向線段ab的長度叫做向量的模,記作|ab|;

4 相等向量:長度相等且方向相同的向量叫做相等向量;

5 平行向量(共線向量):兩個方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共線向量,零向量與任意向量平行,即0//a;

6 單位向量:模等於1個單位長度的向量叫做單位向量,通常用e表示,平行於座標軸的單位向量習慣上分別用i、j表示。

7 相反向量:與a長度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。

平面向量是在二維平面內既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量,物理學中也稱作向量,與之相對的是隻有大小、沒有方向的數量(標量)。平面向量用a,b,c上面加一個小箭頭表示,也可以用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示。

向量的模的運算沒有專門的法則,一般都是通過餘弦定理計算兩個向量的和、差的模。多個向量的合成用正交分解法,如果要求模一般需要先算出合成後的向量。模是絕對值在二維和三維空間的推廣,可以認為就是向量的長度。

推廣到高維空間中稱為範數。

向量積,數學中又稱外積、叉積,物理中稱矢積、叉乘,是一種在向量空間中向量的二元運算。與點積不同,它的運算結果是一個向量而不是一個標量。並且兩個向量的叉積與這兩個向量和垂直。

其應用也十分廣泛,通常應用於物理學光學和計算機圖形學中。

4樓:騰禮巴綾

向量ab+向量ac=以

abac

為鄰邊的

平行四邊形abce

裡的向量ae,

而根據平行四邊形性質對角線交點互相平分所以d為ae中點

所以向量ab+向量ac=向量ae,即向量ab+向量ac=2向量ad

5樓:宮帥王耘志

1因向量

ab與向量a平行且相反,向量a=向量2i-向量4j。故向量ab=-向量a=-(向量2i-向量4j)=向量4j-向量2i故向量ob=向量oa+向量ab=向量3i+向量j+向量4j-向量2i=向量i+向量5j

2因平行四邊形oacb

故向量ac=向量ob

【附】因ab模為4根號5

故(向量2i)平方+(向量4j)平方=ab模平方=(4根號5)平方=80①

又因i模=j模

故解①式得i模=j模=2

6樓:閃向歐良工

平移變換

y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b注意:(ⅰ)有係數,要先提取係數。如:把函式y=f(2x)經過平移得到函式y=f(2x+4)的圖象。

(ⅱ)會結合向量的平移,理解按照向量

(m,n)平移的意義。

對稱變換

y=f(x)→y=f(-x),關於y軸對稱y=f(x)→y=-f(x)

,關於x軸對稱

y=f(x)→y=f|x|,把x軸上方的圖象保留,x軸下方的圖象關於x軸對稱

y=f(x)→y=|f(x)|把y軸右邊的圖象保留,然後將y軸右邊部分關於y軸對稱。(注意:它是一個偶函式)

伸縮變換:y=f(x)→y=f(ωx),

y=f(x)→y=af(ωx+φ)具體參照三角函式的圖象變換。

一個重要結論:若f(a-x)=f(a+x),則函式y=f(x)的影象關於直線x=a對稱

7樓:匿名使用者

向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向量。

2. 加法與減法的代數運算:

8樓:毛小宇大哥哥

其實高中數學向量公式很簡單,自己畫個圖,然後慢慢想一想就知道了

泛函:x是賦範線性空間.a≠0,a∈x,若對x上一切範數為1的有界線性泛函f均有|f(a)|≤c(常數),求證||a||≤c

9樓:遊子涯

由哈恩-巴拿赫定理的一個推論可得

,推論為x是賦範線性空間,且x≠,對任版意a∈x,a≠0,存在e上的權有界線性泛函f使得||f||=1,f(a)=||a||。

此題中對一切範數為1的有界線性泛函f均有|f(a)|≤c,所以存在一個範數為1的有界線性泛函f使得||a||=|f(a)|≤c。證畢。

設X,Y的聯合密度函式為fx,y2xy0x

錯誤 取f x,y 1,y x 0 x2 y2,其它 則f x 在p0 0,0 處的二階偏導數存在,均為2,但lim y x 0 f x,y 1,而f 0,0 0,故f x,y 在p0處不連續 錯誤 取f x,y 同 則f x,y 在d 上不連續,從而f x,y 在d上的一階導數不存在,故lim y...

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