如何證明n個連續整數的乘積 能被n!整除

2021-07-22 22:57:41 字數 5454 閱讀 9199

1樓:解題新手

哥德**猜想的證明

一、引子

2023年6月7日哥德**寫信給當時的大數學家尤拉,正式提出了以下的猜想:a、任何一個大於 6的偶數都可以表示成兩個素數之和。b、任何一個大於9的奇數都可以表示成三個素數之和。

這就是哥德**猜想。

哥德**猜想:大於6的偶數可以表示為兩個奇素數之和。

這裡大於6的偶數,是指大於或等於6的任意偶數,直至∞。

大於或等於6,直至∞的任意偶數,表示為兩個奇素數之和。奇素數是必然支援的必要條件,意思是說奇素數,從3至∞必須有奇素數的存在,必須滿足大於6的任何偶數,都可以表示為兩個奇素數相加。

即:1、要證明「哥德**猜想」,必然首先證明素數,永遠存在。

2、孿生素數,孿生素數與素數有關。科學界把孿生素數納入與「哥德**猜想」等同的地位,即證明「哥德**猜想」時,也可以順便證明孿生素數。

3、本文證明的重點:素數、哥德**猜想、孿生素數是否成立。並不計算在某一個範圍內的具體個數,若要計算具體個數,請參看我在《三思論壇》城隍廟中的其它文章。

二、依據

1、素數,除能被1和自身數整除外,不能被其它任何數整除的整數為素數。

2、素數對非素數的刪除規律(自己編寫,歡迎舉例反駁):設素數刪除因子為n,素數刪除因子n對n個相差不是n的倍數的連續數,必須刪除一個,並且只刪除一個;當n個連續數的相差數字是素數n的倍數時,這n個連續數或者全部都是素數n的刪除數,或者全部都不是素數n的刪除數。

三、證明

(一)、素數的證明

證明一、

∵:素數是除1和自身數外,不能被其它任何數整除的整數。

故:在自然數中,不能表示為兩個或者兩個以上素數乘積的整數(除0和1),叫素數。

又∵:在自然數的無限擴大中,永遠存在不能表示為兩個或者兩個以上素數乘積的整數。

∴:在自然數無限擴大時,永遠有素數的誕生,素數永遠存在。

證明二、

說法一、我們把自然數看作一個整體。素數2的出現,將大於2的自然數刪除1/2;素數3的出現,將自然數刪除1/3,減去素數2與素數3的重複刪除數,即1/2*1/3=1/6;素數5的出現,將自然數刪除1/5,減去素數5與素數2、3的重複刪除1/10、1/15;………。這是素數刪除的準確計算方法,再此不細說。

說法二、我們把自然數看作一個整體。素數2的出現,將大於2的自然數刪除1/2,剩餘的1/2為奇數;素數3的出現,將奇數刪除1/3,剩餘2/3的奇數;素數5的出現,將素數3刪除後的剩餘奇數刪除1/5,剩餘4/5;………。這是素數刪除的近似計算方法,再此不一一列出。

我們舉例說明這種近似計算的近似程度。

我們將自然數所取的範圍用m表示,則刪除因子為√m以下的素數,設最大的刪除因子為n,即刪除因子為2、3、5、7、11…n。

那麼自然數m以內的奇素數≥m*1/2*2/3*4/5*6/7*10/11*……*(n-1)/n。

舉例說明如下:

當m為10時,10以內的奇素數≥10*1/2*2/3=3.33個,實際為3個;(這裡是因為非素數1所佔的比例所致)。

當m為100時,100以內的奇素數≥100*1/2*2/3*4/5*6/7=22.85,實際為24個;

當m為1000時,1000以內的奇素數≥1000*1/2*2/3*4/5*6/7*10/11*……30/31=152,實際為167個;

當m為10000時,10000以內的奇素數≥10000*1/2*2/3*4/5*6/7*……96/97=1214,實際為1229個;

……………。

按這種計算方法,繼續計算下去,實際素數永遠大於所計算的素數。是因為兩種原因:①素數的刪除是從素數的平方以後,才進行刪除,這裡的計算沒有排除這種因素;②這種計算同樣沒有完全排除重複刪除,所以,實際素數個數永遠大於計算個數。

∵:自然數m*多個(素數刪除因子-1)/素數刪除因子的乘積,永遠不等於0,≥1說明有素數的存在;大於一個定數,說明必然有素數的誕生。

這裡所說的「一個定數」,是什麼意思呢?也就是說:我們設三個素數刪除因子為:

a,b,c。且a<b<c。c-b-a=2,4,6,………,素數a及<a的素數的刪除範圍為<b*b+2的自然數;素數b及<b的素數的刪除範圍為<c*c+2的自然數。

也就是說素數b不會對b*b+2之內的自然數進行刪除,素數c不會對c*c+2之內的自然數進行刪除,(c*c+2)-(b*b+2)這一段自然數之內是否有素數的誕生,分兩個方面進行說明:

2樓:皮菊濯辛

這很容易吧:

設m為任一整數,則式:

(m+1)(m+2)...(m+n)

=(m+n)!/m!

=n!*[(m+n)!/(m!n!)]

而式中[(m+n)!/(m!n!)]恰為c(m+n,m),也即是從m+n中取出m的組合數,當然為整數。

所以(m+1)(m+2)...(m+n)一定能被n!整除。即證。

3樓:匿名使用者

當然嘍,n!即n的階乘,必定包含那n個連續整數,必定可以整除

4樓:

n個連續整數的乘積就是

n!即n的階乘,必定包含那n個連續整數,必定可以整除

其結果是(n-1)!即(n-1)的階乘

如何證明n個連續整數的乘積 能被n,整除

5樓:匿名使用者

設n為大於0的整數,則有:n!=n(n-1)(n-2)x......

x3x2x1,由此可得:n!/n=n(n-1)(n-2)x......

x3x2x1/n=(n-1)(n-2)x......x3x2x1,而(n-1)(n-2)x......x3x2x1/n=(n-1)(n-2)x......

x3x2x1是連續整數的乘積,因此該乘積必然專是整數,這就證屬明瞭n個連續整數的乘積能被n整除。

6樓:匿名使用者

m大於n時組合數c(m,n)=m(m-1)(m-2)……(m-n+1)/n!是整數,

∴命題成立。

n個連續整數的乘積一定能被n!整除

7樓:幽水寒靈

設a為任一整數,則式:

(a+1)(a+2)...(a+n)

=(a+n)!/a!

=n!*[(a+n)!/(a!n!)]

而式中[(a+n)!/(a!n!)]恰為c(a+n,a),也即是從a+n中取出a的組合數,當然為整數。

所以(a+1)(a+2)...(a+n)一定能被n!整除

8樓:

n!=1*2*3*4*……*n(高3你會學到的。)

這樣:n個連續整數的乘積一定能被n!整除 啊

9樓:

證明:利用組合公式c(n+1,k)=c(n,k)+c(n,k-1)下面證明k個連續整數乘積n(n-1)(n-2)……(n-k+1)能被k!整除,這等價於證明

c(n,k)是整數

對n(n>=k)用第二數學歸納法

n=k時,k(k-1)……2*1=k!顯然能被k!整除假設n<=k時命題成立,因而c(n,k)=n(n-1)……(n-k+1)/k是整數,

同理c(n,k-1)也是整數,所以c(n+1,k)=c(n,k)+c(n,k-1)也是整數

綜上,對一切n>=k都有k!整除n(n-1)……(n-k+1)

10樓:狒嘎

n*(n+1)(n+2)(n+3)...../n=(n+1)(n+2)(n+3)....

怎樣證明連續n個數的積能被n!整除

11樓:

首先排除n個連續整數中有正有負的情況,因為這時這n個整數中含0,整除是顯然的;

那麼以下就可以假設這n個整數都是正的,因為負的情況可以完全類似得出。

設m是任給一個正整數,那麼題目就是m(m+1)...(m+n-1)/n!是一個整數,而這個數是以下問題的答案:從m+n-1個互不相同的東東中任取n個有多少種取法,顯然是個整數。

設m為任一整數,則式:

(m+1)(m+2)...(m+n)

=(m+n)!/m!

=n!*[(m+n)!/(m!n!)]

而式中[(m+n)!/(m!n!)]恰為c(m+n,m),也即是從m+n中取出m的組合數,當然為整數。

所以(m+1)(m+2)...(m+n)一定能被n!整除。

即證。我是老師 謝謝採納

如何證明 n個連續整數之積必能被n,整除

12樓:小樂笑了

設這個n個連續整數,分別是

k+1,k+2,...,k+n

則k+1≡ t (mod n)

k+2≡ t+1(mod n)

...k+n≡ t+n-1 (mod n)由於模n剩餘類中,只有回n個等價類(即餘數只能是答0,1,2。。。n-1這n種情況)

因此t ,t+1,t+2, ... ,t+n-1 必有1個滿足 = 0(mod n)

即k+1,k+2,...,k+n,中必有1個能被n整除因此,n|(k+1)(k+2)...(k+n)

為什麼連續n個正整數相乘,積能被n!整除?求答案

13樓:姆姆

可以藉助組合數公式說明。

從m個不同元素中取n個元素組合,記c(m,n)中不同方法,其中m≥n,且都為正整數。c(m,n)為正整數。

c(m,n)=p(m,n)/n!

其中p(m,n)表示從m個不同元素中取n個元素進行排列的不同種數,就是n個連續正數的積,

即n個正整數相乘,積能被n!整除。

求數學高手:連續n個整數的積,必能被n!整除的證明

14樓:_小超超

我是數學頂級高手!可以採用雙重數學歸納法。

我將你的問題重述如下:

已知n大於等於1,m大於等於0,m,n皆為整數,求證:n!|(m+1)(m+2)...(m+n).

首先對n採用歸納法:

1、當n=1時,對任意m有1|(m+1)

2、假設n=k-1時,對任意m有(k-1)!|(m+1)...(m+(k-1))

3、當n=k時,注意,此時我們要證明對任意m有k!|(m+1)...(m+k),此時對m採用數學歸納法。

3.1、m=0時,即為k!|k!.

3.2、假設m=p-1時,k!|((p-1)+1)...((p-1)+k)

3.3、當m=p時,(p+1)(p+2)...(p+k)=

((p-1)+1)...((p-1)+k) + (p+1)(p+2)...(p+(k-1))•k

用m的歸納假設有:

k!|((p-1)+1)...((p-1)+k)

用n的歸納假設有:

對任意m有(k-1)!|(m+1)...(m+(k-1))

當然有(k-1)!|(p+1)(p+2)...(p+(k-1)),

從而k!|(p+1)(p+2)...(p+(k-1))•k

故k!|(p+1)(p+2)...(p+k),證畢.

n個連續整數的乘積一定能被n 整除

設a為任一整數,則式 a 1 a 2 a n a n a n a n a n 而式中 a n a n 恰為c a n,a 也即是從a n中取出a的組合數,當然為整數。所以 a 1 a 2 a n 一定能被n 整除 n!1 2 3 4 n 高3你會學到的。這樣 n個連續整數的乘積一定能被n 整除 啊 ...

證明 n個連續自然數的乘積能被n 整除(非排列組合法證明)

設 p為n 的任一素因子,並且 p a n 但 p a 1 不能整除 n x 表示x的整數部分。則 a n p 1,2,n 中包含至少 一個p因子的數的個數。n p 2 1,2,n 中 包含至少 2個p因子的數的個數。n p r 1,2,n 中包含至少 r個p因子的數的個數。上式,後面的項,當r充分...

怎樣證明連續n個數的積能被n整除

設這個n個連續整數來 分自別是 k 1,k 2,k n 則k 1 t mod n k 2 t 1 mod n k n t n 1 mod n 由於模bain剩餘類du中,zhi只有n個等價dao類 即餘數只能是0,1,2。n 1這n種情況 因此t t 1,t 2,t n 1 必有1個滿足 0 mod...