1樓：風痕雲跡
設 p為n!的任一素因子，並且 p^a | n!, 但 p^(a+1)不能整除 n!.
[x] 表示x的整數部分。
則 a =
[n / p] // 1，2，...,n 中包含至少 一個p因子的數的個數。
+ [n / p^2] // 1，2，...,n 中 包含至少 2個p因子的數的個數。
+...
+ [n / p^r] // 1，2，...,n 中包含至少 r個p因子的數的個數。
+ ....
上式，後面的項，當r充分大後，都是0，所以只是有限項的和。
設任意n個連續自然數為， m+1, m+2,...., m+n
則上述計算方法估計下界仍然有效。即
m+1, m+2,...., m+n 中至少有 [(m+n-m)/p]= [n / p] 個數 包含至少 一個p因子。
m+1, m+2,...., m+n 中至少有 [n / p^2] 個數 包含至少 2個p因子。
.......
m+1, m+2,...., m+n 中至少有 [n / p^r] 個數 包含至少 r個p因子。
所以 m+1, m+2,...., m+n的乘積含p因子的次數至少為
[n / p] + [n / p^2]+...+ [n / p^r] +....
= a即 p^a | (m+1)(m+2)...(m+n)
上述結論對n!的任意素因為都成立。所以 n! | (m+1)(m+2)...(m+n)
2樓：小飛俠
連續n個數可以記為m+1，m+2，...，m+n，乘積為m
(m+1)(m+2)...(m+n) mod 1 ＝0
(m+1)(m+2)...(m+n) mod 2 ＝0*1*...＝0
(m+1)(m+2)...(m+n) mod 3 ＝0*1*2*...＝0
(m+1)(m+2)...(m+n) mod 4 ＝0*1*2*3*...＝0
...(m+1)(m+2)...(m+n) mod n ＝0*1*2*3*...*n=0
文字表述為：
因為連續n個數必定佔據n的全餘數子集，會有某個數和n同餘。
所以這n個數的積必定整除n。
因為n>1到n-1的任意整數，所以自然m也整除1到n-1的所有數。
既然m整除1到n的所有數，那麼m整除n!
數學排列組合的典型題及解答過程
如何證明n個連續整數的乘積 能被n！整除
哥德 猜想的證明 一 引子 1742年6月7日哥德 寫信給當時的大數學家尤拉，正式提出了以下的猜想 a 任何一個大於 6的偶數都可以表示成兩個素數之和。b 任何一個大於9的奇數都可以表示成三個素數之和。這就是哥德 猜想。哥德 猜想 大於6的偶數可以表示為兩個奇素數之和。這裡大於6的偶數，是指大於或等...
n個連續整數的乘積一定能被n 整除
設a為任一整數，則式 a 1 a 2 a n a n a n a n a n 而式中 a n a n 恰為c a n,a 也即是從a n中取出a的組合數，當然為整數。所以 a 1 a 2 a n 一定能被n 整除 n！1 2 3 4 n 高3你會學到的。這樣 n個連續整數的乘積一定能被n 整除 啊 ...
怎樣證明連續n個數的積能被n整除
設這個n個連續整數來 分自別是 k 1，k 2，k n 則k 1 t mod n k 2 t 1 mod n k n t n 1 mod n 由於模bain剩餘類du中，zhi只有n個等價dao類 即餘數只能是0，1，2。n 1這n種情況 因此t t 1，t 2,t n 1 必有1個滿足 0 mod...