線性代數為什麼3階矩陣,r(A)1那麼它有0為特徵值呢

2021-08-08 14:16:06 字數 3740 閱讀 3504

1樓:匿名使用者

可以當公式來記:對於n階矩陣,如果r(a)=1,必有n-1個特徵值為0,剩下一個的特徵值等於該矩陣主對角元素之和。理由:

|λe-a|=λ的n次方-∑aii*λ的(n-1)次方=0。。。即:λ1=∑aii、λ2=λ3=。。。

=λn=0 ∑aii=a11+a22+...+ann

2樓:數學榜哥

別誤導人家啦!

錯誤: "秩是1的方陣一定能相似對角化"

反例: 0 1 0

0 0 0

0 0 0

樓主:秩為一的三階矩陣的若當標準型有兩種可能第一種: 0 1 0

0 0 0

0 0 0

第二種: a 0 0

0 0 0

0 0 0 (a不為零)第一種情況下三個特徵值都為零:

第二種情況下有兩特徵值為零 另一個為a不為零.

3樓:匿名使用者

因為秩是1的方陣一定能相似對角化,證明可以從這樣入手 秩為1的矩陣可以化成兩個列向量的乘積(一個的專職)相似秩相等,所以對角陣秩為一 他的豬對角線一定有兩個零(對於三界矩陣) 告訴你學好線性代數就牛叉的就是把秩運用自如,秩完全搞懂 一切順利…哈哈哈哈哈

線性代數,3階矩陣a的各行成比例,知道秩r(a)=1,為什麼有特徵值λ=0?

4樓:電燈劍客

注意ax=0 <=> ax=0x

所以解方程ax=0可以得到0對應的特徵向量

既然r(a)<3, ax=0有非零解

線性代數:為什麼三階實對稱矩陣a,r(a-2e)=1,所以2是a的二重特徵值?

5樓:匿名使用者

因為 r(a-2e)=1

所以 a 的屬於特徵值2的線性無關的特徵向量有 3-1=2 個.

而a是實對稱矩陣, k重特徵值有k個線性無關的特徵向量所以2是a的二重特徵值.

線性代數題目:設三階矩陣a的特徵值為λ1=2 λ2=-2 λ3=1 對應的特徵值向量依次為p1=(0 1 1)p2=(1 1 1)

6樓:匿名使用者

【解法一】

由ap1=λ1p1,ap2=λ2p2,ap3=λ3p3,知p1,p2,p3是矩陣a的不同特徵值的特徵向量,它們線性無關。利用分塊矩陣,有

a(p1,p2,p3)=(λ1p1,λ2p2,λ3p3),因為矩陣(p1,p2,p3)可逆,故

a=(λ1p1,λ2p2,λ3p3)(p1,p2,p3)-1根據矩陣乘法運算,得a為

-2 3 -3

-4 5 -3

-4 4 -2

【解法二】

因為矩陣a有3個不同的特徵值,所以a可相似對角化,有q-1aq = b,q=(p1,p2,p3),b為2 0 0

0 -2 0

0 0 1

那麼a=qbq-1=... 下略。

【評註】

反求矩陣a的過程,解法一是通過特徵值,特徵向量與a的關係求解。解法二是通過相似對角陣來求解。

newmanhero 2023年4月18日15:34:37希望對你有所幫助,望採納。

7樓:prince於辰

由於三階矩陣a有3個不同的特徵值,故矩陣a可相似對角化,即存在可逆矩陣p,使得:

p▔*a*p=b (其中p▔為p的逆陣,b為對角陣)p=(p1,p2,p3),b=diag(λ1,λ2,λ3)則a= p*b*p▔

8樓:匿名使用者

題目中給出的特徵值向量依次為 p1=(0 1 1),p2=(1 1 1),p3=(1 1 0)錯誤,

不同特徵值的特徵向量應互相正交。

記特徵值矩陣 ∧ = diag(λ1, λ2, λ3), 特徵向量矩陣 p = (p1, p2, p3), 則

ap = p∧, a = p∧p^(-1).

9樓:匿名使用者

由ap1=λ1p1,ap2=λ2p2,ap3=λ3p3,知p1,p2,p3是矩陣a的不同特徵值的特徵向量,它們線性無關。利用分塊矩陣,有

a(p1,p2,p3)=(λ1p1,λ2p2,λ3p3),因為矩陣(p1,p2,p3)可逆,故

a=(λ1p1,λ2p2,λ3p3)(p1,p2,p3)-1根據矩陣乘法運算,得a為

-2 3 -3

-4 5 -3

-4 4 -2

線性代數 如果4階方陣的秩為1,那麼0就是它的特徵值,這個能理解,但是為什麼說0一定是3重特徵值呢

10樓:匿名使用者

0特徵值

bai一定對應三個線性無關特du徵向量是

zhi對的,但是0特徵值不一定是

dao三重根,專只能說至少三屬重,也可能四重。

分類討論:

1.在已知該矩陣可相似對角化的前提下,可斷言0必為三重根,且對應三個無關特徵向量;

2.倘若尚且未知該矩陣是否可對角化,則只可得知0為特徵值,重數不小於三,且對應三個無關的特徵向量;其他資訊無法判定,需要先判斷矩陣是否可對角化或先求出其特徵值,再做判斷。

原因:你用特徵多項式求的重數是代數重數,用維數減秩得到的是幾何重數。

幾何重數≤代數重數,題目給的是幾何重數,你想求的是代數重數,至於取小於號還是等於號,已知資訊無法判定,看上面討論。具體此處不證,你可以自己找找反例。

11樓:數學好玩啊

幾何重數,因為ax=0的維數為4-r(a)=4-1=3,所以特徵值0對應著3個線性無關的特徵向量

12樓:匿名使用者

因為秩為1,變為對角型時秩也為1,因此有三個0。

13樓:匿名使用者

4階在實數範圍內有四個特徵值,秩為一,那麼就有三個為0的特徵值,一個是不等於0的特徵值。我也是自己研究的,估計正確

14樓:逝神亭

只有一個元素不為0,秩為1,0為四重根,這算什麼

線性代數 矩陣 已知3階不可逆矩陣a有特徵值1和2,矩陣b=a^2-2a+3i則|b|=答案 18為什麼

15樓:匿名使用者

a不可逆時,0一定是特徵值。經濟數學團隊幫你解答。請及**價。謝謝!

線性代數:設三階實對稱矩陣a的特徵值為λ1=-1,λ2=λ3=1,已知a的屬於λ1=-1的特徵向量為p1={0,1,1}

16樓:匿名使用者

第一個問題:

由於屬於不同特徵值的特徵向量是相互正交的。

因此屬於內1的特徵向容

量與屬於-1的特徵向量正交,假設屬於1的特徵向量為(x,y,z)則:

y+z=0,x任意

這樣得到基礎解系 α=(1,0,0) β=(0,1,-1)屬於1的特徵向量可以視為α和β的線性組合!也就是說矩陣a屬於1的特徵子空間是二維的。

你說的p2=,也是屬於1的特徵向量,但是還應該找一個與線性無關,且與p1=正交的向量。這樣才能保證特徵子空間是二維的。

第二個問題:

兩個向量α和β判斷相關性很簡單,令k1*α+k2*β=0.如果α和β都有n個分量,得到一個具有n個方程2個未知數的方程,寫出係數矩陣a,如果係數矩陣的秩=2,則線性無關。如果係數矩陣的秩<2,則線性相關!

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