1樓：匿名使用者
.前n項和公式
若數列｛an｝是公比為q的等比數列，則它的前n項和公式是
也就是說，公比為q的等比數列的前n項和是q的分段函式，分段的界限在q=1處.
當q≠1時，求等比數列前n項和sn的方法一般是利用sn的表示式的特點，首先在sn=a1+a1q+…+a1qn-1兩邊同乘以該數列的公比q，使得等式右邊各項都向右錯了一位；然後通過求sn-qsn把相同的項消去，達到簡化的目的；最後從中解出sn.這種方法(俗稱「錯位相減法」)很巧妙，而且對這類數列的求和具有普遍性，應該很好地掌握它.
求等比數列前n項和的方法還有一些，下面再介紹其中的一種：
當q=1時，sn=na1
當q≠1時，
sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1
=a1+q(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1)-a1qn
=a1+q·sn-a1qn
=a1(1-qn)+q·sn
∴(1-q)sn=a1(1-qn),
∴sn=.
在具體運用等比數列前n項和公式時如果考慮不周常會出錯.例如，求和：1+x+x2+…+xn，認為其和為是錯誤的.
【重點難點解析】
本節重點是等比數列前n項和公式及其應用.難點是求和公式的推導.等比數列前n項和公式要注意對公比q進行討論，分q=1和q≠1兩種情況.
求等比數列前n項和的思想和方法在求一些特殊數列的前n項和中經常運用到.
例1 設等比數列｛an｝的前n項和為sn，若
s3+s6=2s9，求公比q的值.
分析 本題主要考查等比數列求和公式的基礎知識，邏輯推理能力和運算能力.在求解中要全面考慮公式q=1和q≠1兩種情況，否則就會造成失誤.
解法一：若q=1，則s3+s6=3a1+6a1=9a1≠2s9,
所以q≠1.依等比數列前n項和公式有
整理得q3(2q6-q3-1)=0.
因為q≠0，所以2q6-q3-1=0,
(q3-1)(2q3+1)=0.
因為q≠1，所以q3≠1,所以q3=-，
q=-=-.
解法二：因為s3+s6=2s9，所以
2(a1+a2+a3)+a4+a5+a6=2(a1+a2+a3+…+a9),
此即-(a4+a5+a6)=2(a7+a8+a9)，
-(a4+a5+a6)=2q3(a4+a5+a6)，
由此解得q3=-,q=-.
評析 在對等比數列前n項和公式的運用中，要注意充分運用整體代入的方法，如解法二中就利用了a7+a8+a9=q3(a4+a5+a6)這一性質，使運算量減少，也避免了q的討論.
例2 設等比數列的首項為a(a＞0)公比為q(q＞0)，前n項和為80，其中最大的一項為54，又它的前2n項和為6560，求a和q.
解：由sn=80,s2n=6560,故q≠1
化簡得∴有③
知∵a＞0，q＞1，等比數列遞增數列，故前n項中最大項為an.
∴an=aqn-1=54 ④
將③代入①化簡得a=q-1 ⑤
化簡得3a=2q ⑥
由⑤，⑥聯立方程組解得a=2,q=3
例3 等比數列｛an｝的前n和等於2，緊接其後的2n項和等於12，再緊接其後的3n項和為s，求s.
分析 本題主要考查等比數列前n項和公式的應用.本題實際為已知sn=2，s3n-sn=12，要求s6n-s3n的值.由等比數列知，前n項成等比數列，緊接其後的2n項也成等比數列，再緊接的3n項也成等比數列，可分別求和列方程.
解：在等比數列中，依次每k項之和仍成等比數列.設前n項和為s1，第2個n項和為s2=s1q，
由②式得q+q2=6，所以q=2或q=-3.
將q=2代入③式得s=112，將q=-3代入③式得s=-378.
例4 求數列1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,…(a≠0)的前n項和sn.
分析 要求數列前n項的和，必須先求出數列的通項公式.
解：據題設條件分析可知：
an=an-1+an+an+1+…+a2n-2
①當a=1時，an=n,∴sn=.
②當a≠1時，sn==-.
(1)當a≠±1時，sn=［-］
=［(1-an)(1-an+1)］
(2)當a=-1時，sn=［+n］
評析 ①由於通項公式本身是一個等比數列的求和，而公比是字母a，故必須分兩種情況(a=1及a≠1)來討論.
②在進一步求和時，由於又出現公比為a2的等比數列求和，故又得分a2=1及a2≠1來討論，由於a=1已討論，因此本題應分a=1，a=-1，a≠±1三種情況來討論.
【難題巧解點撥】
例1 設等比數列｛an｝的公比與前n項和分別為q與sn，且q≠1,s10=8.求的值.
分析 一個條件不能確定a1與q.不妨將s10與s20用a1、q表示出來，進行對比，興許有點門道.
解：∵=8,
∴==8.
評析 一些數列問題中的基本量難以確定或不能確定時，不妨設而不求，整體代換.其實，本題尚有以下巧解：
s20=s10+a11+a12+…+a20
=s10+q10s10=s10(1+q10),
故=s10=8.
例2 設等比數列｛an｝的前n項和為sn，求證：s2n+s22n=sn(s2n+s3n).
分析 從整體結構入手，尋找sn、s2n、s3n之間的關係，作差計算，不僅簡便，而且求解過程完備.
解：設｛an｝的公比為q,則
s2n=sn+qnsn=sn(1+qn)
s3n=sn+qnsn+q2nsn=sn(1+qn+q2n)
∴s2n+s22n-sn(s2n+s3n)
=s2n+s2n(1+qn)2-s2n［(1+qn)+(1+qn+q2n)］
=s2n+s2n(1+qn)2-s2n［1+(1+qn)2］
=0∴s2n+s22n=sn(s2n+s3n).
評析 本題的結論是等比數列的又一性質：(s2n-sn)2=sn(s3n-s2n),即sn,s2n-sn,s3n-s2n成等比數列.
例3 已知數列｛an｝滿足條件：a1=1,a2=r(r＞0)，且｛anan+1｝是公比為q(q＞0)的等比數列.設bn=a2n-1+a2n，求數列｛bn｝的前n項和sn.
分析 =q=q=q.
解：∵=q ∴an+2=anq，
∴===q,
且q≠0,b1=1+r≠0
∴｛bn｝是首項為1+r，公比為q的等比數列，
評析 解題的關鍵是等比數列｛bn｝的發現，只要緊抓等比數列的定義來分析，就能使隱含著的條件顯露出來，促成問題的快速解決.
希望能幫到你，滿意望採納哦。
2樓：雅默幽寒
sn=[a1*(1-q^n)]/(1-q) 為等比數列 而這裡n為未知數 可以寫成f（n）=[a1*(1-q^n)]/(1-q) 當q=1時 為常數列 也就是 n個a1相加為
3樓：馮瀅虎照
首先，你用等比數列前n項和，前提就是q不等於-1，然後，若q=-1，則為擺動數列，即正負交替，比如2，-2，2，-2，2，-2……sn=0，s2n=0,s3n=0,成立啊
4樓：水元修後香
解：由等比數列可得
a1=1，a4=1x(q)^(4-1)=1/8解：q=1/2
所以首項為1，公比為1/2的等比數列，
sn=(1-1/2^n)/(1-1/2)
所以帶入sn公式可得sn=[1(1-1/2^10)]/(1-1/2)=2-1/512=1023/512
5樓：強菲仲巳
(1).a(n+1)=(1-%20)an+30%bn(2).bn=1000-an
則a(n+1)=(1-20%)an+30%(1000-an)=1/2*an+300
(3).根據第二題已證明的式子，a(n+1)-600=1/2(an-600)
得到是以1/2為公比的等比數列，an-600=(a1-600)*(1/2)^(n-1)
an=(a-600)*(1/2)^(n-1)+600
等比數列前n項和公式有兩個，第二個是什麼？
6樓：賞一個人的月光
分析如下：等比數列前n項和公式第二個是
①當q≠1時，
或②當q=1時，
記，則有
拓展資料：1、等比數列公式就是在數學上求一定數量的等比數列的和的公式。另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底數數後構成一個等差數列；反之，以任一個正數c為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪can，則是等比數列。
2、如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示。
7樓：餘風似水
等比數列求和公式是求等比數列之和的公式。如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比數列a1≠ 0。
注：q=1 時，an為常數列。利用等比數列求和公式可以快速的計算出該數列的和。
8樓：憶安顏
第一個公式sn=((an*(1-q^n))/(1-q)，q不等於1第二個公式sn=(a1-an*q)/(1-q)，q不等於1第三個公式就是當q等於1的時候sn=na1拓展資料等比數列是指如果一個 數列從第2項起，每一項與它的前一項的 比值等於同一個常數的一種數列，常用g、p表示。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比數列a1≠ 0。其中中的每一項均不為0。
注：q=1 時，a n為 常數列。
(1)若m、n、p、q∈n*，且m+n=p+q，則am*an=ap*aq。
(2)在等比數列中，依次每k項之和仍成等比數列。
(3)若「g是a、b的 等比中項」則「g^2=ab（g≠0）」。
9樓：我又不是來玩的
公式：求和公式：
拓展資料 ：
求通項方法：
（1）待定係數法：已知a（n+1）=2an+3，a1=1，求an？
構造等比數列a（n+1）+x=2（an+x）a（n+1）=2an+x，∵a（n+1）=2an+3 ∴x=3∴（a（n+1）+3）/（an+3）=2
∴為首項為4，公比為2的等比數列，所以an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3
（2）定義法：已知sn=a·2^n+b,，求an的通項公式？
∵sn=a·2^n+b∴sn-1=a·2^n-1+b∴an=sn-sn-1=a·2^n-1 [2] 。
高中等比數列n項和的性質，等比數列前n項和公式
好久沒做高中題了，公式都差點忘了。雖然這題感覺轉了幾轉，但是通項公式還是比較容易求得的。等比求和有公式，直接套，然後就可以直接求出tn的通項公式了。最後是最大問題，前面是負號的，當有未知數的平方等於0時最大。因為平方數不可能為負數。太粗心了啊，沒讀懂題目，他是求n0的值吧，這個應該 2log2 8....
等比數列an的前n項和為48，前2n項和為60，則前3n項和為多少
從第 n 1 項到第2n項的和是60 48 12.48 12 4.可以看出，第一個n項的和比第二個n項的和是4.根據等比數列性質，第二個n項比第三個n項也應該是4.所以，從 2n 1 項到第3n項的和是 12 4 3.所以，前3n項的和 60 3 63.一個等比數列的前n項和為48，前2n項和為60...
已知Sn為等比數列an的前n項和,a2 3,a6 243,Sn 364,則n
a6 a2 q 4 243 3 q 4 q 3或q 3 a1 a2 q 1或 1 sn a1 1 3 n 1 q a1 1,q 3時n無自然數解，捨去 a1 1,q 3時 364 1 3 n 2n 6 q 4 a6 a2 81 則 q 3或q 3 1 若q 3，此時a1 1，sn a1 1 q n ...