a b a b 具體證明過程

2023-05-18 09:30:08 字數 2579 閱讀 5677

1樓:追風逐月馬

我們知道 |a|=

因此,有 ﹣|a|≤a≤|a| .

b|≤b≤|b| .

同樣地 ①,相加得。

|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b| 即 |a+b|≤|a|+|b| .

易得,當且僅當ab≥0時,③式等號成立。

由③可得 |a|=|a+b)-b|≤|a+b|+|b|..

即 |a|-|b|≤|a+b| .

對④式,由上面知,當且僅當(a+b)(-b)≥0時等號成立,所以⑤式等號成立的充要條件是b(a+b)≤0。

綜合③,⑤我們得到有關絕對值(absolute value)的重要不等式。

a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

2樓:匿名使用者

兩邊平方然後相減。

a+b|)^2-(|a|+|b|)^2=a^2+b^2+2ab-a^2-b^2-2|a|*|b|=2(ab-|ab|)

當a、b同號時,此時ab>0,2(ab-|ab|)=2(ab-ab)=0,此時|a+b|=|a|+|b|

當a、b異號時,此時ab<0,2(ab-|ab|)=2(ab+ab)=2ab<0,此時|a+b|<|a|+|b|

當a、b有一個或二個為0時,|a+b|=|a|+|b|綜上,|a+b|≦|a|+|b|

3樓:陳老師講高考

這個是著名的三角不等式。

我們可以用向量來證明。

當然這裡存在共線情況所以可以加等。

4樓:卓沛若

可以嘗試用反證法。

原命題的反命題為|a+b|>|a|+|b|當a=-1 ,b=1時 ,此命題不成立。

故 反命題為假 原命題為真。

其實這種 半成品結論 在正規考試中不會出現的 你只要記住便可。

5樓:匿名使用者

用向量的平行四邊形法則。

6樓:匿名使用者

兩遍都平方一下就很好證明了,還是點到為止吧,這邊寫步驟很麻煩。

證明|a+b|<=|a|+|b|

7樓:公子翀

|^^a+b|)^du2=a^2+b^2+2ab(|zhia|+|b|)^dao2=a^2+b^2+2|ab|因為2|ab|>=2ab

所以回a^2+b^2+2|ab|>=a^2+b^2+2ab所以(|a+b|)^2<=(a|+|b|)^2所以|答a+b|<=a|+|b|

如有不明白,可以追問!!

謝謝採納!

|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 求詳細證明過程

8樓:匿名使用者

|||當a,b<0時,iai=-a, ibi=-b, 那麼:

a|-|b|=-a-(-b)=b-a,ia+bi=-(a+b),a|+|b|=-a+(-b)=-a+b).而-(a+b)>b-a,故 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 成立。

當a,b=0時,iai=0, ibi=0, 那麼: |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|=0成立。

當a,b>0時,iai=0, ibi=0, 那麼:

a|-|b|=a-b,ia+bi=a+b,a|+|b|=a+b.而a+b>a-b, 故 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 成立。

綜上所述:|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 成立。

故: |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

9樓:成都維巨集教育

||畫出數軸,在數軸上任意標註兩點a和-b|a|-|b|表示a和-b到原點的距離差。

a+b|=|a-(-b)|表示a到-b的距離|a|+|b|=|a-0|+|0-(-b)|表示a和-b到原點的距離之和。

a|-|b|≤|a+b| (a|<|b|時恆成立;|a|>|b|時,a和-b同側,|a|-|b|=|a+b| ,異側則,|a|-|b|<|a+b| )

a+b|≤|a|+|b| (a和-b同側,|a+b|<|a|+|b|,異側則,|a+b|=|a|+|b|)

a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

10樓:xx西瓜

分類討論,分a,b的正負討論即可。

如何證明|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|

11樓:匿名使用者

|≤|a|=

因此,有。|a|≤a≤|a| .

b|≤b≤|b| .專,②相加得﹣﹙|屬a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|即 |a+b|≤|a|+|b| .易得,當且僅當ab≥0時,③式等號成立。

由③可得|a|=|a+b)-b|≤|a+b|+|b|..

即 |a|-|b|≤|a+b| .對④式,由上面知,當且僅當(a+b)(-b)≥0時等號成立,所以⑤式等號成立的充要條件是b(a+b)≤0。

綜合③,⑤a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

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