1樓：陽光愛聊教育
原因如下：
一個非零n階矩陣，若其秩為1，則其只有一個基向量，無論x取何值，y必與其基向量共線。
當x取值與基向量共線時，y與x共線，按定義，該基向量所在方向為矩陣的一個特徵方向，所有在該線上的向量都是 特徵向量組，且有特徵值λ=y/x。
一個秩1的矩陣最多有一個特徵方向，而一個 特徵方向上只有一個特徵值。
在考研數學線性代數中，秩為1的矩陣具有特殊意義，往年常考察其相關知識點。
其一是秩為 1 矩陣的特徵值，特徵值的計算是一個基本考點，其計算方法很多，包括：根據特徵值的定義進行計算、由特徵方程計算、利用特徵值的各種性質進行計算，這些方法都是求特徵值的基本方法。
同學們需要熟練掌握，但這些方法只是針對一般矩陣的普遍方法，而對於一些特殊矩陣，有時採用一些特殊的方法或技巧則可以更靈活、更有效地解決問題。
其二是秩為1矩陣是否能相似對角化，知道結論可以秒出結果。
其三是將秩為1矩陣拆為兩列向量的乘積，在很多大題中常會用到。
2樓：暴走愛生活
秩小於行或者列的個數n，說明矩陣的行列式值等於0，而矩陣行列式等於特徵值的乘積，所以一定會有零為特徵值。
對於秩為1的n階矩陣，零是其n重或n-1重特徵值，如果是n-1重，則非零特徵值是矩陣的主對角線元素之和；另外還看到，秩為1的矩陣可以分解為一個非零列向量與另一個非零列向量的轉置的乘積，這兩個向量的內積即是非零特徵值；秩為1的矩陣對應的齊次線性方程組的基礎解系含n-1個解向量。
秩等於1的方陣的對角化問題：
矩陣a可對角化的充分必要條件是：a有n個線性無關的特徵向量。
對於秩等於1的n(n2)階矩陣a=at,a,均為n維非零列向量，齊次線性方程組ax=0的基礎解系含有n-1個線性無關的解向量a2=(-b2,b1,0,..0)t，a3=()j3,d,),an=-n,0,..b1)t，它們是a對應於特徵值入=0的n-1個線性無關的特徵向量。
3樓：小溪趣談電子數碼
按照秩的定義（行/列向量由幾個線性無關的向量張成），秩等於1的矩陣一定可以寫成a=ab, 其中a，b是列向量。那麼所有和b正交的向量都是a的特徵值為0的特徵向量。行列成比例，可分解為左列右行乘積且n次冪等於矩陣的跡n-1次方乘矩陣本身。
在解析幾何中，矩陣的秩可用來判斷空間中兩直線、兩平面及直線和平面之間的關係。
在控制論中，矩陣的秩可以用來確定線性系統是否為可控制的（或可觀察的）。
數值分析的主要分支致力於開發矩陣計算的有效演算法，這是一個已持續幾個世紀以來的課題，是一個不斷擴大的研究領域。 矩陣分解方法簡化了理論和實際的計算。
秩為一的矩陣的特徵值是什麼？
4樓：小琦最愛說娛樂
秩為1的矩陣，1個非零特徵值是矩陣的跡， 即對角元元素之和， 其它特徵值均為0。
對於秩為1的n階矩陣，零是其n重或n-1重特徵值，如果是n-1重，則非零特徵值是矩陣的主對角線元素之和。
另外還看到，秩為1的矩陣可以分解為一個非零列向量與另一個非零列向量的轉置的乘積，這兩個向量的內積即是非零特徵值，秩為1的矩陣對應的齊次線性方程組的基礎解系含n-1個解向量。
定義：
由定義直接可得n階可逆矩陣的，秩為n，通常又將可逆矩陣稱為滿秩矩陣， det(a)70，不滿秩矩陣就是奇異矩陣，det(a)=0。矩陣a的轉置at的秩與a的秩是一樣的，即rank(a)=rank(at)。
當r(a)<=n-2時，最高階非零子式的階數<=n-2，任何n-1階子式均為零，而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個正負號，所以伴隨陣為0矩陣。
當r(a)<=n-1時，最高階非零子式的階數<=n-1，所以n-1階子式有可能不為零，所以伴隨陣有可能非零(等號成立時伴隨陣必為非零)。
矩陣的秩和特徵值有什麼關係?
5樓：最強科技檢驗員
關係：如果矩陣可以對角化，那麼非0特徵值的個數就等於矩陣的秩；如果矩陣不可以對角化，這個結論就不一定成立了。
為討論方便，設a為m階方陣。
證明：設方陣a的秩為n。
如將特徵值的取值擴充套件到複數領域，則一個廣義特徵值有如下形式：aν=λbν。
其中a和b為矩陣。其廣義特徵值（第二種意義）λ 可以通過求解方程(a-λb)ν=0，得到det(a-λb)=0（其中det即行列式）構成形如a-λb的矩陣的集合。其中特徵值中存在的複數項。
若是的屬於的特徵向量，則也是對應於的特徵向量，因而特徵向量不能由特徵值惟一確定。反之，不同特徵值對應的特徵向量不會相等，亦即一個特徵向量只能屬於一個特徵值。
矩陣的秩與特徵值有什麼關係？
6樓：果果就是愛生活
關係：方陣a不滿秩等價於a有零特徵值；a的秩不小於a的非零特徵值的個數；方陣a不滿秩等價於a有零特徵值。a的秩不小於a的非零特徵值的個數。
證明： 定理1:n階方陣a可相似對角化的充要條件是a有n個線性無關的特徵向量。
矩陣的秩是線性代數中的一個概念。**性代數中，一個矩陣a的列秩是a的線性獨立的縱列的極大數。通常表示為r(a)，rk(a)或rank a。
矩陣的秩的變化規律及證明：
1、轉置後秩不變。
2、r(a)\u003c=min(m,n),a是m*n型矩陣。
3、r(ka)=r(a),k不等於0
4、r(a)=0 a=0
5、r(a+b)\u003c=r(a)+r(b)6、r(ab)\u003c=min(r(a),r(b))7、r(a)+r(b)-n\u003c=r(ab)
矩陣的秩和特徵值有什麼關係？
7樓：社會暢聊人生
內容如下：
1、方陣a不滿秩等價於a有零特徵值。
2、a的秩不小於a的非零特徵值的個數。
線性變換秩是多少，就一定找到有多少個線性無關的特徵向量。因為一個特徵向量只能屬於一個特徵值，所以有多少個線性無關的特徵向量，就有多少個特徵值（不管特徵值是不是一樣）。這裡有n個1，都是一樣的（從特徵多項式也知道有n個重根）。
因為非退化的線性替換不改變空間的維數，不改變矩陣的秩。
其他性質。線性變換，轉置。矩陣是線性變換的便利表達法，皆因矩陣乘法與及線性變換的合成有以下的連繫：
以 rn 表示 n×1 矩陣（即長度為n的向量）。對每個線性變換 f : rn ->rm 都存在唯一 m×n 矩陣 a 使得 f(x) =ax 對所有 x ∈ rn。
這矩陣 a "代表了" 線性變換 f。
今另有 k×m 矩陣 b 代表線性變換 g : rm ->rk，則矩陣積 ba 代表了線性變換 g o f。矩陣 a 代表的線性代數的映像的維數稱為 a 的矩陣秩。
矩陣秩亦是 a 的行（或列）生成空間的維數。m×n矩陣 a 的轉置是由行列交換角式生成的 n×m 矩陣 atr （亦紀作 at 或 ta），即 atr[i, j] =a[j, i] 對所有 i and j。
若 a 代表某一線性變換則 atr 表示其對偶運算元。轉置有以下特性：(a + b)tr = atr + btr，(ab)tr = btratr。
註記矩陣可看成二階張量， 因此張量可以認為是矩陣和向量的一種自然推廣。
矩陣的秩和特徵值有什麼關係？
8樓：小科技大不同
矩陣的秩和特徵值的關係：如果矩陣可以對角化，那麼非0特徵值的個數就等於矩陣的秩；如果矩陣不可以對角化，這個結論就不一定成立。
從線性空間的角度看，在一個定義了內積的線性空間裡，對一個n階對稱方陣進行特徵分解，就是產生了該空間的n個標準正交基，然後把矩陣投影到這n個基上。
n個特徵向量就是n個標準正交基，而特徵值的模則代表矩陣在每個基上的投影長度。特徵值越大，說明矩陣在對應的特徵向量上的方差越大，功率越大，資訊量越多。
矩陣特徵值的定義：
設a是n階方陣，如果數λ和n維非零列向量x使關係式ax=λx成立，那麼這樣的數λ稱為矩陣a特徵值，非零向量x稱為a的對應於特徵值λ的特徵向量。
式ax=λx也可寫成（a-λe)x=0。這是n個未知數n個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是係數行列式｜a-λe|=0。
為什麼秩為1的實對稱矩陣的特徵值其中等於跡，其餘為
對角線上有且僅有一個元素不為0，其餘元素都是0，所以 只有一個非零特徵值。3階實對稱矩陣秩為2，為什麼有一個特徵值為0 3階實對稱矩陣秩為2，因此此矩陣的行列式為0，又由於行列式等於所有特徵值的積專，因此此屬矩陣必有一個特徵值為0。設 a 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 ax m...
若是正交矩陣a的特徵值,證1也是a的特徵值
e a e a t e a 1 a 1 a e a 1 1 e a n,設a為正交陣,且 a 1,證明b 1是a的特徵值 10 a正交,則a的特徵值的模是1又deta 1 所有特徵值的乘積,共軛復特徵值成對出現所以必有特徵值是 1。設a的特徵值為 有a 0 a t a e 等式左邊乘於a的轉置a t...
如何求矩陣的特徵值,如何求矩陣的特徵值
相似矩陣有相同的特徵值。對於a有和b都有 2，剩下的二次項根據待定係數法求解。矩陣特徵值的求矩陣特徵值的方法 求矩陣特徵值的方法 如下 其中矩陣q為正交矩陣，矩陣r為上三角矩陣，至於qr分解到底是怎麼回事，矩陣q和矩陣r是怎麼得到的，你們還是看矩陣論吧，如果我把這些都介紹了，感覺這篇文章要寫崩，或者...