矩陣A如圖的標準形是

2021-03-19 18:18:52 字數 809 閱讀 4615

1樓:就一水彩筆摩羯

首先必須求最小多項式。一般只要矩陣不特殊都是si-a初等行列變換變成史密斯標準型,從而通過行列式因子或者直接算出來不變因子組,寫成(x-si)^ni形式後,求初等因子組,初等因子組裡相同因子方冪最大的相乘就得到了最小多項式。例如我們求得初等因子組為x(x-1),(x-1),(x-1)^2,則其最小多項式為x(x-1)(x-1)^2,最小多項式的方冪就是約當塊的分塊,此題分塊為0,1,1(二重),寫成約當標準型即可。

然後通過ap=pj把p分成x1,x2,...xn的列向量,然後一列一列的待定係數法可求得x1,x2,...,xn。

某些乘方比較好算或者階次較小的矩陣可以用廣義特徵根法,優點是運算量小,可以直接求得約當標準型和變換矩陣p:det(si-a)求得a的特徵值,然後依次帶回,分三種情況:si為單根則對應的約當塊為1*1,對角線上是si,對應的特徵向量為p中對應的列向量(如果約當型中你把這個單根的塊放到第一個則對應p中第一列,放到第二個則對應第二列);如果si是n重根,但是可以求得n個特徵向量(即si-a在s=si的時候可以相似對角化),則得到一個n階塊,對角線上是si,這n個特徵向量是p對應的列;如果si是n重根,但是隻能求得m1(m1

最後給個標註:第二種方法也可以用於求低階矩陣a的最小多項式,直接用第二種方法求出約當標準型以後通過第一種方法中求約當標準型的最後一步反用就可以求得最小多項式。

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