1樓：楊必宇
如圖所示：
定義法：鏈式法則(chain rule)
若h(a)=f[g(x)]
則h'(a)=f』[g(x)]g』(x)
鏈式法則用文字描述，就是「由兩個函式湊起來的複合函式，其導數等於裡函式代入外函式的值之導數，乘以裡邊函式的導數。」
求極限：
f(x)=1/x²
那麼導數為f'(x)
=lim (dx趨於0) [f(x+dx) -f(x)]/dx
=lim (dx趨於0) [1/(x+dx)² -1/x²]/dx
=lim (dx趨於0) [-(2xdx+dx²)/(x+dx)²x²] /dx
=lim (dx趨於0) -(2x+dx)/(x+dx)²x²
代入dx=0，得到f'(x)= -2/x^3
擴充套件資料：
證法一f(x)在點x0可導的充要條件是在x0的某鄰域u(x0)內，存在一個在點x0連續的函式h(x),使f(x)-f(x0)=h(x)(x-x0)從而f'(x0)=h(x0)
證明：設f(x)在x0可導，令 h(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈u'(x0)(x0去心鄰域)；h(x)=f'(x0),x=x0
因lim(x->x0)h(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=h(x0)
所以h(x)在點x0連續，且f(x)-f(x0)=h(x)(x-x0),x∈u(x0)
反之，設存在h(x),x∈u(x0),它在點x0連續，且f(x)-f(x0)=h(x)(x-x0),x∈u(x0)
因存在極限lim(x->x0)h(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=h(x0)
所以f(x)在點x0可導，且f'(x0)=h(x0)
設u=φ(x)在點u0可導，y=f(u)在點u0=φ(x0)可導，則複合函式f(x)=f(φ(x))在x0可導，且f'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)
證明：由f(u)在u0可導，由引理必要性，存在一個在點u0連續的函式h(u),使f'(u0)=h(u0),且f(u)-f(u0)=h(u)(u-u0)
又由u=φ(x)在x0可導，同理存在一個在點x0連續函式g(x),使φ'(x0)=g(x0),且φ(x)-φ(x0)=g(x)(x-x0)
於是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=h(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=h(φ(x))g(x)(x-x0)
因為φ，g在x0連續，h在u0=φ(x0)連續，因此h(φ(x))g(x)在x0連續，再由引理的充分性可知f(x)在x0可導，且
f'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)
證法二：y=f(u)在點u可導，u=g(x)在點x可導，則複合函式y=f(g(x))在點x0可導，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
證明：因為y=f(u)在u可導，則lim(δu->0)δy/δu=f'(u)或δy/δu=f'(u)+α(lim(δu->0)α=0)
當δu≠0，用δu乘等式兩邊得，δy=f'(u)δu+αδu
但當δu=0時，δy=f(u+δu)-f(u)=0,故上等式還是成立。
又因為δx≠0,用δx除以等式兩邊，且求δx->0的極限，得
dy/dx=lim(δx->0)δy/δx=lim(δx->0)[f'(u)δu+αδu]/δx=f'(u)lim(δx->0)δu/δx+lim(δx->0)αδu/δx
又g(x)在x處連續(因為它可導),故當δx->0時，有δu=g(x+δx)-g(x)->0
對數函式的導函式怎麼用導數的定義計算，求過程 200
2樓：介於石心
利用反函bai
數求導：
設duy=loga(x) 則x=a^y。
zhi根據指數函式dao的求導公式,兩邊回x對y求導得：
答dx/dy=a^y*lna
所以dy/dx=1/(a^y*lna)=1/(xlna)。
如果ax=n（a>0，且a≠1），那麼數x叫做以a為底n的對數，記作x=logan，讀作以a為底n的對數，其中a叫做對數的底數，n叫做真數。
一般地，函式y=logax（a>0，且a≠1）叫做對數函式，也就是說以冪（真數）為自變數，指數為因變數，底數為常量的函式，叫對數函式。
其中x是自變數，函式的定義域是（0，+∞），即x>0。它實際上就是指數函式的反函式，可表示為x=ay。因此指數函式裡對於a的規定，同樣適用於對數函式。
3樓：小老爹
對數函式y=loga(x)的導
數的證明 需要用到高等
數學中的一些知識：
方法一：利用反內函式求導
設y=loga(x) 則x=a^y
根據指數函式的容求導公式,兩邊x對y求導得:
dx/dy=a^y*lna
所以dy/dx=1/(a^y*lna)=1/(xlna)高等數學中的dy/dx也就是我們高中的y'。
方法二：用導數定義求，需用求極限：
4樓：匿名使用者
這個要用到第二重要極限或者無窮小代換.
高等數學…求導和求極限有哪些區別？詳細一些…謝謝
5樓：匿名使用者
一、內容不同
求導：指當自變數的增量趨於零時，因變數的增量與自變數的增量之商的極限。
求極限：指某一個函式中的某一個變數，此變數在變大（或者變小）的永遠變化的過程中，逐漸向某一個確定的數值。
二、表示符號不同
求導：求導的表示符號為「f'(x)」。
求極限：求極限的表示符號為「lim」。
三、性質不同
求導：求導的性質包括可導的函式一定連續，不連續的函式一定不可導。
求極限：求極限的性質包括唯一性、有界性、保號性、保不等式性和實數運算的相容性等。
6樓：匿名使用者
求導和求極限是兩個完全不同的概念.極限是導數的前提..
首先,導數的產生是從求曲線的切線這一問題而產生的,因此利用導數可以求曲線在任意一點的切線的斜率.
其次,利用導數可以解決某些不定式極限（就是指0/0、無窮大/無窮大等等型別的式子）,這種方法叫作「洛比達法則」.
以y=x²為例,當x趨向於1的時候,y也趨向於1,這是極限.
把y=x²對x進行求導,得y=2x,該式的幾何意義為函式在x點的切線的斜率為2x
即當x=1時y=2,表示函式y=x²在x=1點這一處的切線的斜率為k=2
y=x²對x求導後之所以會得到y=2x,是利用求切線的方法,在影象上取兩點連成直線,當兩點不斷靠近最終成為一點的時候,該直線也便是影象在該點的切線.而推導求導這一過程的方法用的是求極限法.因此求導和求極限兩者本身並不相同.
可以看下樓下@花苗貴樹 的答案，很簡潔。
7樓：花苗貴樹
斜率求極限就是導數
求導的最後一步是求極限
極限的定義是無限接近一個數
導數的定義是斜率
8樓：匿名使用者
求導：當自變
量的增量趨於零時，因變數的增量與自變數的增量之商的極限。在一個函式存在導數時，稱這個函式可導或者可微分。可導的函式一定連續。不連續的函式一定不可導。
求極限：
(1)、分式中，分子分母同除以最高次，化無窮大為無窮小計算，無窮小直接以0代入；
(2)、無窮大根式減去無窮大根式時，分子有理化，然後運用(1)中的方法；
(3)、運用兩個特別極限；
(4)、運用洛必達法則，但是洛必達法則的運用條件是化成無窮大比無窮大，或無窮小
比無窮小，分子分母還必須是連續可導函式。
一個函式的方向導數怎麼求？
9樓：真的辣眼睛
首先我們要明白
方向導數的定義：
方向導數的精確定義（以三元函式為例）：設三元函式f在點p0（x0，y0，z0）的某鄰域內有定義，l為從點p0出發的射線，p（x，y，z）為l上且含於鄰域內的任一點，以ρ表示p和p0兩點間的距離。若極限lim（ (f(p)-f(p0)) / ρ ）= lim （△l f / ρ）（當ρ→0時）存在，則稱此極限為函式f在點p0沿方向l的方向導數。
計算方法如下圖：
應用（舉例）：求函式的方向的方向導數
求函式l=xyz 在點(5,1,2)處 沿著點(5,1,2,)至(9,4,19)的方向的方向導數
lx=yz=2
ly=xz=10
lz=xy=5
梯度為（2,10,5）
方向向量為（4,3,17）
其膜長為根號下314,
所以方向導數為剃度乘方向向量的膜長.
根號下314分之123。
拓展資料：
10樓：匿名使用者
p0到p1的方向為(6,5)-(3,1)=(3,4)而f(x,y)對x求偏導=3x²-6yx+3y²，p0處的關於x偏導=27-18+3=12
而f(x,y)對y求偏導=-3x²+6xyp0處的關於y偏導=-27+18=-9
所以該方向的方向導數為12*3+(-9)*4=36-36=0本質上就是一元函式z=f(x,y0)的導數，反映曲面上的一條平面曲線：z=f(x,y)，y=y0,在點(x0.y0)這點沿著x由小到大的方向變化時，z=f(x,y0)的變化快慢。
導數（derivative）是微積分中的重要基礎概念。當自變數的增量趨於零時，因變數的增量與自變數的增量之商的極限。一個函式存在導數時，稱這個函式可導或者可微分。
可導的函式一定連續。不連續的函式一定不可導。導數實質上就是一個求極限的過程，導數的四則運演算法則**於極限的四則運演算法則。
11樓：憂心太平洋
方向導數是函式在某一點的梯度（fx,fy,fz）叉乘給定方向的單位向量得到的結果。其實偏導也是一類方向導數，對三元函式求x的偏導就可以看成求1,0,0方向上的方向導數。
12樓：神王無敵
一個函式的方向導數的計算（如下圖）
應用（舉例）：求函式的方向的方向導數
求函式l=xyz 在點(5,1,2)處 沿著點(5,1,2,)至(9,4,19)的方向的方向導數
lx=yz=2
ly=xz=10
lz=xy=5
梯度為（2,10,5）
方向向量為（4,3,17）
其膜長為根號下314,
所以方向導數為剃度乘方向向量的膜長.
根號下314分之123。
方向導數
在函式定義域的內點，對某一方向求導得到的導數。
注意某個方向的方向導數存在，不能推出其它方向的方向導數存在。
簡介
方向導數概述
方向導數（directional derivative）的通俗解釋是：我們不僅要知道函式在座標軸方向上的變化率（即偏導數），而且還要設法求得函式在其他特定方向上的變化率。而方向導數就是函式在其他特定方向上的變化率。
定義
方向導數的精確定義（以三元函式為例）：設三元函式f在點p0（x0，y0，z0）的某鄰域內有定義，l為從點p0出發的射線，p（x，y，z）為l上且含於鄰域內的任一點，以ρ（rou）表示p和p0兩點間的距離。若極限
lim（ (f(p)-f(p0)) / ρ ）= lim （△l f / ρ）（當ρ→0時）
存在，則稱此極限為函式f在點p0沿方向l的方向導數。
一次函式
一般地，形如y=kx+b（k,b是常數，k≠0）的函式叫做一次函式（linear function）。其中x是自變數，y是因變數。特別地，當b=0時，y=kx（k為常數，k≠0），y叫做x的正比例函式（direct proportion function）。
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方法如下圖所示，請認真檢視，祝學習愉快 利用導數的定義求函式在某點的導數值？第一題不是最簡單的嗎?原式 3 lim x 0 f 0 3x f 0 3x 3 f 0 3啊 在求分段函式的導數是，分段點為什麼要用導數定義來做。還有在求導數之前怎麼知道可不可導？分段點用導數定義來求肯定是可以的 不是分段點...