1樓：勤奮的陸
^球面座標計算復的體積公式=∫∫制∫_v dv此處是球體,那麼利用球座標
=∫∫∫ ρ^2 sin φ dρdφdθ=∫dθ ∫sin φdφ ∫ ρ^2dρ=2π*[-cosφ |]*[ρ^3/3 |]=2π*2*r^3/3
=4πr^3/3
擴充套件資料球面座標系是三大常用的座標系之一，其它二個常用的座標系是標準的歐氏座標系、柱面座標系。球面座標變換公式描述了空間中一點p在歐氏座標系下的座標
與球面座標系下的座標
之間的變換關係。該變換關係如下述公式給出 ：
或者，將表達成的形式：
2樓：匿名使用者
這裡需要用到重積分的變數換元法，將座標系轉變，透過雅可比(jacobi)行列式推出
雅可比行列式：j = ∂(x，y)/∂(u，v)，具體用法自己科普吧
柱座標的推導也類似
二重積分和三重積分的區別 都可以算體積嗎
3樓：匿名使用者
都是遞進關係，從一重積分開始，只說幾何意義吧。
一重積分(定積分)：只有
一個自變數y = f(x)
當被積函式為1時，就是直線的長度(自由度較大)
∫(a→b) dx = l(直線長度)
被積函式不為1時，就是圖形的面積(規則)
∫(a→b) f(x) dx = a(平面面積)
另外，定積分也可以求規則的旋轉體體積，分別是
盤旋法(disc method)：v = π∫(a→b) f²(x) dx
圓殼法(shell method)：v = 2π∫(a→b) xf(x) dx
計算方法有換元積分法，極座標法等，定積分接觸得多，不詳說了
∫(α→β) (1/2)[a(θ)]² dθ = a(極座標下的平面面積)
二重積分：有兩個自變數z = f(x，y)
當被積函式為1時，就是面積(自由度較大)
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = a(平面面積)
當被積函式不為1時，就是圖形的體積(規則)、和旋轉體體積
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = v(旋轉體體積)
計算方法有直角座標法、極座標法、雅可比換元法等
極座標變換：{ x = rcosθ
{ y = rsinθ
{ α ≤ θ ≤ β、最大範圍：0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ，rsinθ) r drdθ
三重積分：有三個自變數u = f(x，y，z)
被積函式為1時，就是體積、旋轉體體積(自由度最大)
∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = v(旋轉體體積)
當被積函式不為1時，就沒有幾何意義了，有物理意義等
計算方法有直角座標法、柱座標切片法、柱座標投影法、球面座標法、雅可比換元法等
極座標變化(柱座標)：{ x = rcosθ
{ y = rsinθ
{ z = z
{ h ≤ r ≤ k
{ α ≤ θ ≤ β、最大範圍：0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(h→k) ∫(z₁→z₂) f(rcosθ，rsinθ，z) r dzdrdθ
極座標變化(球座標)：{ x = rsinφcosθ
{ y = rsinφsinθ
{ z = rcosφ
{ h ≤ r ≤ k
{ a ≤ φ ≤ b、最大範圍：0 ≤ φ ≤ π
{ α ≤ θ ≤ β、最大範圍：0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(a→b) ∫(h→k) f(rsinφcosθ，rsinφsinθ，rcosφ) r²sin²φ drdφdθ
所以越上一級，能求得的空間範圍也越自由，越廣泛，但也越複雜，越棘手，而
且限制比上面兩個都少，對空間想象力提高了。
重積分能化為幾次定積分，每個定積分能控制不同的伸展方向。
又比如說，在a ≤ x ≤ b裡由f(x)和g(x)圍成的面積，其中f(x) > g(x)
用定積分求的面積公式是∫(a→b) [f(x) - g(x)] dx
但是升級的二重積分，面積公式就是∫(a→b) dx ∫(g(x)→f(x)) dx、被積函式變為1了
用不同積分層次計算由z = x² + y²、z = a²圍成的體積？
一重積分(定積分)：向zox面投影，得z = x²、令z = a² --> x = ± a、採用圓殼法
v = 2πrh = 2π∫(0→a) xz dx = 2π∫(0→a) x³ dx = 2π • (1/4)[ x⁴ ] |(0→a) = πa⁴/2
二重積分：高為a、將z = x² + y²向xoy面投影得x² + y² = a²
所以就是求∫∫(d) (x² + y²) dxdy、其中d是x² + y² = a²
v = ∫∫(d) (x² + y²) dxdy = ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r³ dr、這步你會發覺步驟跟一重定積分一樣的
= 2π • (1/4)[ r⁴ ] |(0→a) = πa⁴/2
三重積分：旋轉體體積，被積函式是1，直接求可以了
柱座標切片法：dz：x² + y² = z
v = ∫∫∫(ω) dxdydz
= ∫(0→a²) dz ∫∫dz dxdy
= ∫(0→a²) πz dz
= π • [ z²/2 ] |(0→a²)
= πa⁴/2
柱座標投影法：dxy：x² + y² = a²
v = ∫∫∫(ω) dxdydz
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r dr ∫(r²→a²) dz
= 2π • ∫(0→a) r • (a² - r²) dr
= 2π • [ a²r²/2 - (1/4)r⁴ ] |(0→a)
= 2π • [ a⁴/2 - (1/4)a⁴ ]
= πa⁴/2
三重積分求體積時能用的方法較多，就是所說的高自由度。
既然都說了這麼多，再說一點吧：
如果再學下去的話，你會發現求(平面)面積、體積 比 求(曲面)面積的公式容易
學完求體積的公式，就會有求曲面的公式
就是「曲線積分」和「曲面積分」，又分「第一類」和「第二類」
當被積函式為1時，第一類曲線積分就是求弧線的長度，對比定積分只能求直線長度
∫(c) ds = l(曲線長度)
被積函式不為1時，就是求以弧線為底線的曲面的面積
∫(c) f(x，y) ds = a(曲面面積)
當被積函式為1時，第一類曲面積分就是求曲面的面積，對比二重積分只能求平面面積
∫∫(σ) ds = a(曲面面積)、自由度比第一類曲線積分大
∫∫(σ) f(x，y，z) ds，物理應用、例如曲面的質量、重心、轉動慣量、流速場流過曲面的流量等
而第二類曲線積分/第二類曲面積分以物理應用為主要，而且是有"方向性"的，涉及向量範圍了。
這兩個比較複雜，概念又深了一層，等你學到再理解吧。
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