1樓：匿名使用者
## 切/法向量
空間直角座標系中，如果一條直線垂直一個平面，那麼這個平面的法向量平行於這條直線的方向向量。當然，也可以說這條直線的方向向量就是平面的法向量。
已知平面的方程，怎麼求平面的法向量？
2樓：特特拉姆咯哦
變換方程為一般式ax+by+cz+d=0，平面的法向量為(a,b,c)。
證明：設平面上任意兩點p(x1,y1,z1)，q(x2,y2,z2)∴ 滿足方程：ax1+by1+cz1+d=0，ax2+by2+cz2+d=0
∴ pq的向量為(x2-x1,y2-y1,z2-z1)，該向量滿足a(x2-x1)+b(y2-y1)+c(z2-z1)=0
∴ 向量pq⊥向量(a,b,c)
∴ 平面上任意直線都垂直於向量(a,b,c)∴ 向量(a,b,c)垂直於該平面
∴ 平面的法向量為(a,b,c)
3樓：你轉身的笑
這個你可以在數學書上可以找得到
一個平面的法向量與這個平面垂直，對嗎？一個平面的法向量定義是與這個平面內兩條直線都垂直， 10
4樓：匿名使用者
第一個是對的，第二個是需要相交的，不能平行或重合。
怎樣求平面的法向量。
5樓：可可粉醬
在平面內找兩個不共線的向量，待求的法向量與這兩個向量各做數量積為零就可以確定出法向量了，為方便運算，提取公因數，若其中含有未知量x，為x代值即可得到一個最簡單的法向量。
如已知向量a和b為平面ɑ內不共線的兩個非零向量，且a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，設n為平面ɑ的一個法向量，n=(x，y，z)，根據方程組，可得到法向量n中x，y，z的關係式，從而求出平面ɑ的一個法向量。
6樓：您輸入了違法字
計算：對於像三角形這樣
的多邊形來說，多邊形兩條相互不平行的邊的叉積就是多邊形的法線。
用方程ax+by+cz=d表示的平面，向量(a,b,c)就是其法線。
如果s是曲線座標x(s,t)表示的曲面，其中s及t是實數變數，那麼用偏導數叉積表示的法線為
如果曲面s用隱函式表示，點集合(x,y,z)滿足 f(x,y,z)=0，那麼在點(x,y,z)處的曲面法線用梯度表示為
如果曲面在某點沒有切平面，那麼在該點就沒有法線。例如，圓錐的頂點以及底面的邊線處都沒有法線，但是圓錐的法線是幾乎處處存在的。通常一個滿足lipschitz連續的曲面可以認為法線幾乎處處存在。
7樓：demon陌
向量ba=(1,0,-1)，向量bc=(0,1,1)設法向量p=(a,y,z)
p與ba，bc都垂直
x-z=0，y+z=0
x=-y=z
取一組非零解，x=1，y=-1，z=1
所求法向量(1,-1,1)
大學用叉乘，行列式。
向量ab=（1，0，-1） 向量ac=（1，-1，-2）平面abc的法向量n=向量ab×向量ac
i， j， k
= 1， 0， -1
1， -1， -2
=0×（-2）×i+（-1）×1×j+1×（-1）×k-[0×1×k+（-1）×（-1）×i+（-2）×1×j]=（-i，j，-k）=（-1，1，-1）
方向遵循右手定則。
垂直於平面的直線所表示的向量為該平面的法向量。由於空間內有無數個直線垂直於已知平面，因此一個平面都存在無數個法向量（包括兩個單位法向量）。
8樓：匿名使用者
如果是高中數學，可以這樣解：
向量ba=(1,0,-1),向量bc=(0,1,1)設法向量p=(a,y,z)
p與ba,bc都垂直
x-z=0,y+z=0
x=-y=z
取一組非零解,x=1,y=-1,z=1
所求法向量(1,-1,1)
大學用叉乘，行列式。
向量ab=（1，0，-1） 向量ac=（1，-1，-2）平面abc的法向量n=向量ab×向量ac
i， j， k
= 1， 0， -1
1， -1， -2
=0×（-2）×i+（-1）×1×j+1×（-1）×k-[0×1×k+（-1）×（-1）×i+（-2）×1×j]=（-i，j，-k）=（-1，1，-1）
方向遵循右手定則。
9樓：
還有一種方法：在平面內找到兩個不共線的向量，設為向量a和b他們的向量積為m=a×b (這裡的×不是乘號，具體定義可以檢視向量積的定義)
=|a|*|b|*sinθ (||代表向量a的模，θ為向量a和b的夾角)
如果向量a和b是座標形式，則用行列式
i i j k i (i j k是三座標單位基地向量)i a b c i
i m n p i
=(bp-cn)i+(mc-pa)j+(an-bm)k即：m=(bp-cn,mc-pa,an-bm) 他就是一個法向量，這裡的字母都表示數字，而不是向量。
10樓：匿名使用者
平面法向量的具體步驟：（待定係數法） 1、建立恰當的直角座標系 2、設平面法向量n=（x，y，z） 3、在平面內找出兩個不共線的向量，記為a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3） 4、根據法向量的定義建立方程組①n*a=0 ②n*b=0 5、解方程組，取其中一組解即可。
11樓：匿名使用者
從理論上說，空間零向量是任何平面的法向量，但是由於零向量不能表示平面的資訊。一般不選擇零向量為平面的法向量。如果已知直線與平面垂直，可以取已知直線的兩點構成的向量作為法向量；如果不存在這樣的直線，可用設元法求一個平面的法向量；步驟如下：
首先設平面的法向量m(x,y,z)，然後尋找平面內任意兩個不平行的向量ab(x1,y1,z1)和cd(x2,y2,z2)。由於平面法向量垂直於平面內所有的向量，因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0。由於上面解法存在三個未知數兩個方程(不能通過增加新的向量和方程求解，因為其它方程和上述兩個方程是等價的)，無法得到唯一的法向量(因為法向量不是唯一的)。
為了得到確定法向量，可採用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等於1的方法(單位法向量)，但是這步並不是必須的。因為確定法向量和不確定法向量的作用是一樣的。平面法向量的具體步驟：
（待定係數法）1、建立恰當的直角座標系2、設平面法向量n=（x，y，z）3、在平面內找出兩個不共線的向量，記為a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）4、根據法向量的定義建立方程組①n*a=0 ②n*b=05、解方程組，取其中一組解即可。
12樓：**醫院龐醫師
溶進入家般的閒適
它就象一陣中風
迅雷閃電
已經被稱為歷史的文物面後
為麼·就帶著一個的塵煙
錯覺讓他們展翅飛揚
13樓：lxy在這裡噢
參***: 君乘之觴於瑤池之上兮，三光羅列而在下。
平面法向量的求法。要用垂直於兩條線的那種
14樓：破敗書生
法向量的求法有2種，一種就是你在立體圖形中用幾何法證明某條直線分別垂直這個平面的兩條相交直線。第二種就是建立空間直角座標系，用代數法去求解，原理還是一樣，不過方法是向量的數量積為o。
空間向量怎樣過定點求平面法向量
15樓：小苒
(43) 平面法向量的求法及其應用
嵩明縣一中 吳學偉
引言：本節課介紹平面法向量的三種求法,並對平面法向量在高中立體幾何中的應用作歸納和總結。其中重點介紹外積法求平面法向量的方法，因為此方法比內積法更具有優越性,特別是在求二面角的平面角方面。
此方法的引入，將對高考立體幾何中求空間角、求空間距離、證明垂直、證明平行等問題的解答變得快速而準確，那麼每年高考中那道12分的立體幾何題將會變得更加輕鬆。
一、 平面的法向量
1、定義：如果 ，那麼向量 叫做平面 的法向量。平面 的法向量共有兩大類（從方向上分），無數條。
2、平面法向量的求法
方法一(內積法):在給定的空間直角座標系中，設平面 的法向量 [或 ，或 ]，在平面 內任找兩個不共線的向量 。由 ，得 且 ，由此得到關於 的方程組，解此方程組即可得到 。
方法二：任何一個 的一次次方程的圖形是平面；反之，任何一個平面的方程是 的一次方程。 ，稱為平面的一般方程。
其法向量 ;若平面與3個座標軸的交點為 ,如圖所示,則平面方程為: ,稱此方程為平面的截距式方程，把它化為一般式即可求出它的法向量。
方法三(外積法): 設 , 為空間中兩個不平行的非零向量，其外積 為一長度等於 ，（θ為 , 兩者交角，且 ），而與 , 皆垂直的向量。通常我們採取「右手定則」，也就是右手四指由 的方向轉為 的方向時，大拇指所指的方向規定為 的方向, 。
（注：1、二階行列式: ；2、適合右手定則。）
例1、 已知， ，
試求（1）： （2）：
key: (1) ;
例2、如圖1-1,在稜長為2的正方體 中，
求平面aef的一個法向量 。
二、 平面法向量的應用
1、 求空間角
(1)、求線面角：如圖2-1，設 是平面 的法向量，
ab是平面 的一條斜線， ，則ab與平面
所成的角為：
圖2-1-1:
圖2-1-2:
(2)、求面面角:設向量 ， 分別是平面 、 的法向量，則二面角 的平面角為：
（圖2-2）;
(圖2-3)
兩個平面的法向量方向選取合適,可使法向量夾角就等於二面角的平面角。約定，在圖2-2中， 的方向對平面 而言向外， 的方向對平面 而言向內；在圖2-3中， 的方向對平面 而言向內， 的方向對平面 而言向內。我們只要用兩個向量的向量積（簡稱「外積」，滿足「右手定則」）使得兩個半平面的法向量一個向內一個向外，則這兩個半平面的法向量的夾角即為二面角 的平面角。
2、 求空間距離
（1）、異面直線之間距離:
方法指導：如圖2-4,①作直線a、b的方向向量 、 ，
求a、b的法向量 ，即此異面直線a、b的公垂線的方向向量；
②在直線a、b上各取一點a、b，作向量 ；
③求向量 在 上的射影d，則異面直線a、b間的距離為
,其中（2）、點到平面的距離:
方法指導：如圖2-5,若點b為平面α外一點，點a
為平面α內任一點，平面的法向量為 ，則點p到
平面α的距離公式為
（3）、直線與平面間的距離:
方法指導：如圖2-6,直線 與平面 之間的距離：
，其中 。 是平面 的法向量
（4）、平面與平面間的距離:
方法指導：如圖2-7,兩平行平面 之間的距離：
，其中 。 是平面 、 的法向量。
3、 證明
（1）、證明線面垂直：在圖2-8中, 向是平面 的法向量， 是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量共線（ ）。
（2）、證明線面平行：在圖2-9中, 向是平面 的法向量， 是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量垂直（ ）。
（3）、證明面面垂直：在圖2-10中， 是平面 的法向量， 是平面 的法向量，證明兩平面的法向量垂直（ ）
（4）、證明面面平行：在圖2-11中, 向是平面 的法向量， 是平面 的法向量，證明兩平面的法向量共線（ ）。
三、高考真題新解
1、（2005全國i，18）（本大題滿分12分）
已知如圖3-1,四稜錐p-abcd的底面為直角梯形，ab‖dc， 底面abcd，且pa=ad=dc= ab=1，m是pb的中點
（ⅰ）證明：面pad⊥面pcd；
（ⅱ）求ac與pb所成的角；
（ⅲ）求面amc與面bmc所成二面角的大小
解:以a點為原點,以分別以ad，ab，ap為x軸，y軸，z軸，建立空間直角座標系a-xyz如圖所示.
， ，設平面pad的法向量為
， ，設平面pcd的法向量為
， ，即平面pad 平面pcd。
， ，， ，設平在amc的法向量為 .
又 ,設平面pcd的法向量為 .
.面amc與面bmc所成二面角的大小為 .
2、(2023年雲南省第一次統測19題) (本題滿分12分)
如圖3-2，在長方體abcd－a1b1c1d1中，
已知ab＝aa1＝a，bc＝ a，m是ad的中點。
(ⅰ)求證：ad‖平面a1bc；
(ⅱ)求證：平面a1mc⊥平面a1bd1；
(ⅲ)求點a到平面a1mc的距離。
解:以d點為原點,分別以da,dc,dd1為x軸,y軸,z軸,建立空間直角座標系d-xyz如圖所示.
, ,設平面a1bc的法向量為
又 , , ,即ad//平面a1bc.
, ,設平面a1mc的法向量為: ,
又 , ,設平面a1bd1的法向量為: ,
, ,即平面a1mc 平面a1bd1.
設點a到平面a1mc的距離為d,
是平面a1mc的法向量,
又 , a點到平面a1mc的距離為: .
四、 用空間向量解決立體幾何的「三步曲」
(1)、建立空間直角座標系(利用現有三條兩兩垂直的直線，注意已有的正、直條件,相關幾何知識的綜合運用，建立右手系)，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；（化為向量問題）
（2）、通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關係以及它們之間距離和夾角等問題；（進行向量運算）
（3）、把向量的運算結果「翻譯」成相應的幾何意義。（回到圖形問題）
一條直線過空間直角座標系的（0，0，1）和（1，1，1），問直線方程空間直角座標系中如何表示
直線的方向向量為 1 0，1 0，1 1 1，1，0 所以，直線的點向式 對稱式 方程為 x 0 1 y 0 1 z 1 0即 x y z 1 0 或者，一般方程為 x y z 1 在空間直角座標系中如何表示一條直線?空間直角座標系中平面方程為ax by cz d 0空間直線的一般方程 兩個平面方程...
空間座標系的直線表示方法,在空間直角座標系中如何表示一條直線
空間直角座標系中平面方程為ax by cz d 0空間直線的一般方程 兩個平面方程聯立,表示一條直線 交線 空間直角座標系中平面方程為ax by cz d 0直線方程就是 a1x b1y c1z d1 0,a2x b2y c2z d2 0,聯立 聯立的結果可以表示為行列式 空間直線的標準式 類似於平...
在直角座標系oy中已知直線l的引數方程為
1 cos2 cos sin 1 即 x y 1 2 l的直角座標方程為y 3 x 2 帶入曲線的方程2x 12x 13 0 進一步求得弦長為2 10 當然第二問的解法還可以直接吧直線方程帶入c 直接求t1 t2 較前面的方法更為簡潔和方便 在直角座標系xoy中,直線l的引數方程為x a 根號3t,...