1樓：匿名使用者
對任意函
數f(x)，令g(x)=[f(x)+f(-x)]/2，h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x)，所以g(x)是偶函式
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-h(x)，所以h(x)是奇函式
兩式相加，g(x)+h(x)=f(x)
所以任意函式f(x)都能表示成一個奇函式和一個偶函式的和
特別地，若f(x)=x^2（偶函式）,則f(x)=x^2+0,其中g(x)=x^2是偶函式，
h(x)=0是既奇又偶函式（當然也是奇函式）。
若f(x)=x（奇函式）,則f(x)=x+0,其中h(x)=x是奇函式，
g(x)=0是既奇又偶函式（當然也是偶函式）。
為何任意一個函式都可以寫成一個奇函式和一個偶函式之和? 5
2樓：不是苦瓜是什麼
因為函式f（x）一定可以分解為奇函式和偶函式之和。其實可以直接從構造出的兩個函式來證明就行了。 f(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2
設函式y=f（x）
令f（x）=[f（x）+f（-x）]/2,則f（-x）=[f（-x）+f（x）]/2=f（x）
於是f（x）為偶函式
令g（x）=[f（x）-f（-x）]/2,則g（-x）=[f（-x）-f（x）]/2=-g（x）
則g（x）為奇函式
f（x）+g（x）=[f（x）+f（-x）]/2+）[f（x）-f（-x）]/2
=f（x）
於是任意f（x）可表示為偶函式f（x）=[f（x）+f（-x）]/2與奇函式g（x）=[f（x）-f（-x）]/2的和
所以，任意一個函式都可以寫成一個奇函式和一個偶函式之和。
函式的奇偶性也就是對任意xel，若f(-x)=f(x)，即在關於y軸的對稱點的函式值相等，則f(x)稱為偶函式;若f(-x)= - f(x)，即對稱點的函式值正負相反，則f(x)稱為奇函式。
在平面直角座標系中，偶函式的圖象對稱於y軸，奇函式的圖象對稱於原點.可導的奇(偶)函式的導函式的奇偶性與原來函式相反。定義在對稱區間(或點集)上的任何函式f(x)都可以表示成奇函式φ( x)和偶函式ψ(x)之和。
3樓：
對任何一個函式f(x),都可以寫成f(x)=g(x)+h(x)其中g(x)是奇函式,h(x)是偶函式
為了證明這一點,我們並不是從一個奇函式和一個偶函式的和如何構成任意函式
而是通過證明任意函式都能分解成g(x)+h(x)來得證得.
正規的證明如下:
證明:先假設f(x) = g(x) + h(x)是存在的,設為1式則f(-x) = g(-x) + h(-x),設為2式奇函式性質:g(x)=-g(-x)
偶函式性質:h(x)=h(-x)
那麼分別拿1式+2式,1式-2式得到:
f(x)+f(-x)=2h(x)
f(x)-f(-x)=2g(x)
由此我們得出結論,對任意的f(x),我們能夠構造這麼兩個函式g(x)=[f(x)-f(-x)]/2 是奇函式h(x)=[f(x)+f(-x)]/2 是偶函式且g(x)+h(x)=f(x)
證畢.通過這個證明還能夠得到如何分解成奇函式和偶函式的方法
4樓：哿桉
這個證明基於假設的基礎上，怎麼可能對
證明:連續奇函式的一切原函式為偶函式,連續偶函式的原函式中有一個為奇函式.
5樓：春天的離開
設f(x)的原函式為f(x)
f(-x)=∫[0,-x]f(t)dt+f(0)（設u=-t）
=-∫[0,x]f(-u)du+f(0)
若f(x)為奇函式，則
f(-x)=∫[0,x]f(u)du+f(0)=f(x)
即f(x)為偶函式
若f(x)為偶函式，則
f(-x)=-∫[0,x]f(u)du+f(0)=-f(x)+2f(0)
當f(0)=0時為奇函式（也就是在原函式f(x)+c中取c=-f(0)）
因此只有一個。
擴充套件資料
在函式極限的定義中曾經強調過，當x→x0時f(x)有沒有極限，與f(x)在點x0處是否有定義並無關係。但由於現在函式在x0處連續，則表示f(x0)必定存在，顯然當δx=0（即x=x0）時δy=0<ε。於是上述推導過程中可以取消0<|δx|這個條件。
如果自變數在某一點處的增量趨於0時，對應函式值的增量也趨於0，就把f(x)稱作是在該點處連續的。
6樓：匿名使用者
答案中錯了，少了一個負號，紅色標記那裡。
這個負號在做變換t'=-t時，區間t從0到-x改為t'是從0到x了
7樓：匿名使用者
牛頓萊布尼茨公式的分部積分，積分上限和下限要同積分變數同時改變
8樓：匿名使用者
證明:連續奇函式的一切原函式為偶函式,連續偶函式的原函式中有一個為奇函式
我個人在理解過程中有一點一開始迷糊了，就是由0到x 變為0到 -x 和 ，為什麼不加負號，其實積分上限由0到x 變為0到-x與該函式是奇函式還是偶函式沒有關係，之所以積分上限由0到x 變為0到-x 是因為 自變數變了，所以積分上下限跟著改變，希望對搜到這個問題的同學有所幫助。
證明：任何一個函式都可以表示為一個奇函式和一個偶函式之和
9樓：桃兒wj9燭
證明：若f（x）為定義在（-n，n）上的任意函式，則設g（x）=f(x)+f(?x)2，
h（x）=f(x)?f(?x)2；
易驗證g（x）=g（-x），
-h（x）=h（-x），
所以g（x）為偶函式，h（x）為奇函式．
而f（x）=g（x）+h（x），
所以得證．
10樓：yechunhong葉子
不是任何一個函式都可以，定義域要關於原點對稱
把函式變成奇函式和偶函式的和，把一個函式變成一個奇函式和一個偶函式的和
基本原理是這個式子 f x f x f x 2 f x f x 2 你把原函式代到上面的式子中，再通分化簡一下就能得到答案。上式中，前半部分是奇函式，後半部分是偶函式。最後答案為 f x x x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 1 x 2 x 1 x 2 x 1 其中，g x x x 2 x 1...
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