1樓：
一樓的好強啊，這樣的變換都能讓你想得出來，解法也是對的，我這裡只是補充一下。如果題目中的a1值沒有給定，那麼首先要討論a1的值，當a1=0，正負1時，a[n]=a1；當a1不取這三個值時，這道題可以用函式迭代和不動點的思想來做，這應該也是解決這型別式的遞推公式的一般解法。我算過了，跟一樓的答案一樣的，具體的步驟我就不寫了。
應該說這種型別的題擁有簡潔的遞推公式，但是答案一般是相當複雜的，感興趣的話可以去查閱：湖南師範大學出版社出版的《數學奧林匹克教程》第二章，第5節函式的迭代，掌握這種思想將是對付此類問題的一大利器。^_^
2樓：牛拉山
mathematica求解**：reduce[a[n + 1] == 2 a[n]/(1 + (a[n])^2)]
答案：(a[1 + n] == 0 and a[n] == 0) or (a[1 + n] != 0 and (a[n] == (1 - sqrt[1 - a[1 + n]^2])/a[1 + n] or a[n] == (1 + sqrt[1 - a[1 + n]^2])/a[1 + n]))
3樓：
令an=bn-1/(bn+1) bn=(1+an)/(1-an)b(n+1)=bn^2
bn=b1^[2^(n-1)]
an=/
數列a(n+1)=2an/(1+an^2),a1=1/2 ,求數列{an}通項公式是什麼？？求高人 30
4樓：
答案：1 - 2/(1 + 3^2^(n - 1))
我是藉助 mathematica 來求解的，因為中間計算很繁瑣，且有一步我也不太會。首先算出這個數列的前幾項：
f[n_] := if[n == 1, 1/2, 2 f[n - 1]/(1 + f[n - 1]^2)]
s = table[f[k], ]
輸出：這個時候我發現分子比分母小1
於是我假定 f[n] = p[n]/(p[n]+1)，這一步可以用數學歸納法來證明，下面的mathematica**給出驗證結果。
f = (-1 + p)/p
2 f/(1 + f^2) // fullsimplify
輸出結果
(2 (-1 + p) p)/(1 + 2 (-1 + p) p) 分母確實比分子大1
這個時候，我欲求f[n]，就轉換為求p[n]
根據f[n]與f[n-1]的關係式，把p[n]帶入得到
p[n]/(1 + p[n]) = (2 p[n - 1]/(1 + p[n - 1]))/(1 + (p[n - 1]/(1 + p[n - 1]))^2)
這個可以解得p[n]與p[n-1]的關係式：
p[n] = 2 (p[n-1] + p[n-1]^2) = 2 * p[n-1] * ( 1 + p[n-1] )
對上面式子右邊進行配方得：
p[n] = 2 (p[n-1] + 1/2)^2 - 1/2
再代換一步
q[n] = p[n]+1/2
就得到了
q[n] = 2 q[n-1]^2
通過查書得知，這種叫非線性遞迴方程，一般是很難有解的，有的情況還會導致混沌現象。但是萬幸，你這個情況是有解的。一般來說，遞迴方程：
a[n] == k*a[n - 1]^2
兩邊取對數之後變成:
log( a[n] ) = log(k) + 2 log(a[n-1])
可以解出它的通解為：（注意從這裡開始都是冪指數的冪指數）
a[n] = e^(2^n c)/k 這裡c為一個待定常數
因此我們這裡的q[n] = a[n] = e^(2^n c)/2, 且q[1] = p[1]+1/2 = 1+1/2 = 3/2
c=log[3]/2
帶入化簡得到：
q[n] = (3^2^(n-1))/2
從而p[n] = (3^2^(n-1))/2-1/2
f[n] = p[n]/(p[n]+1) = ((3^2^(n-1))-1)/((3^2^(n-1))+1) 或者 1 - 2/(1 + 3^2^(n - 1))
中間計算太繁瑣了，有可能有不對的地方，但最後的通項公式我是程式設計驗證過的，沒有問題。
mathematica程式驗證一下：
table[((3^2^(n - 1)) - 1)/((3^2^(n - 1)) + 1), ]
note:
關於這個問題，我一開始覺得這個遞推表示式跟某個三角函式的公式很像，但是推了半天無功而返。但是後來我用mathematica來求解的時候發現，直接求解f[n]得不到解，但求p[n]有解，而且在複數域還有一個解，這說明這個通項公式可以用三角函式來表示。看來也許真的可以用三角函式的公式來巧妙求解，只不過我的功力粗淺，無法完成了。
5樓：
答案比較難寫,見**吧,你自己可在本子上用數學歸納法證明
6樓：龍飛
你看看吧！不是很難，就是計算複雜點
7樓：
我這個回答更直觀且簡單
求解幾項後發現每項都具有1-1/bn的形式，其中bn是一個新數列（且每項都是整數），用這個形式代替an可以得到bn的遞推公式：
b(n+1)=bn^2+(bn-1)^2
且b1=2
兩邊同時乘以2再減1，可以得到
2b（n+1)-1=(2bn-1)^2
於是得到
2bn-1=(2b1-1)^(2^(n-1))=3^(2^(n-1))
然後你就知道怎麼做了
答案與第一個回答相同，見他那個**
a1=1,a（n+1）=an/2an+1,求{an}的通項公式
8樓：匿名使用者
你題目有些沒寫清楚，如果是a（n+1）=an/(2a(n)+1)的話，那麼通項公式為a(n)=1/(2n-1)
9樓：匿名使用者
a(n+1)=an/2an+1
1/a(n+1)=(2an+1)/an=2+1/an1/a(n+1)-1/an=2
為等差數列，首項為1，公差為2
1/an=1+2(n-1)=2n-1
an=1/(2n-1)
10樓：匿名使用者
前提：n為整數，
正確答案應該是，
an=1/（2n-1）
在數列{an}中,已知a1=2,a(n+1)=2an/(an+1),求數列{an}通項公式.
11樓：西域牛仔王
^1)a(n+1)=2an/(an+1)
1/a(n+1)=1/2(1+1/an)
1/a(n+1)-1=1/2(1/an-1)
所以 ｛1/an-1｝是 首項為 -1/2，公比為 1/2 的等比數列，
故 1/an-1=-(1/2)^n
所以 an=1/[1-(1/2)^n]=2^n/(2^n-1)
2)ai(ai-1)=2^i/(2^i-1)^2=1/(2^i+1/2^i-2)
由於 a1(a1-1)+a2(a2-1)=2+4/9=22/9
且當 i>=3時，ai(ai-1)=2^i/(2^i-1)^2=1/(2^i+1/2^i-2)<=1/(2^i-2)<=1/2^(i-1)
所以 ∑(i=3 to n) ai(ai-1)<=1/4+1/8+..+1/2^(n-1)<=1/2
因此，∑(i=1 to n) ai(ai-1)<=22/9+1/2=53/18<3
12樓：尐尒倩
1.因為a(n+1)=2an/(an+1)
左邊右邊都成倒數。1/a(n+1)=(an+1)/2an=1/2+1/2an
所以（我懷疑你題目有沒有少抄一個2）沒有的話告訴我。我繼續做。
13樓：匿名使用者
^1)令來bn=1/an， 則自b1=1/2,
因為a(n+1)=2an/(an+1),
所以b(n+1)=bn/2+1/2,
即b(n+1)-1=(bn-1)/2
所以是以-1/2為首項，以1/2為公比的等比數列，bn-1=-(1/2)^n
所以bn=1-(1/2)^n
即an=1/bn=2^n/(2^n-1)
2)ai(ai-1)=2^i/(2^i-1)^2=1/(2^i+1/2^i-2)
由於 a1(a1-1)+a2(a2-1)=2+4/9=22/9
且當 i>=3時，ai(ai-1)=2^i/(2^i-1)^2=1/(2^i+1/2^i-2)<=1/(2^i-2)<=1/2^(i-1)
所以 ∑(i=3 to n) ai(ai-1)<=1/4+1/8+..+1/2^(n-1)<=1/2
因此，∑(i=1 to n) ai(ai-1)<=22/9+1/2=53/18<3
14樓：匿名使用者
對a(n+1)=2an/(an+1)兩邊同取自倒數
2/a(n+1)=1/an+1
再給上式兩邊同乘以2^n,可得2^(n+1)/a(n+1)=2^n/an+2^n
令b(n+1)=2^(n+1)/a(n+1),則bn=2^n/an那麼有：b(n+1)-bn=2^n,b1=2^1/a1=1
所以：bn-b(n-1)=2^(n-1)
b(n-1)-b(n-2)=2^(n-2)
………………
b2-b1=2
根據累加法：bn-b1=2+……2^(n-2)+2^(n-1)
這樣bn=1+2+……2^(n-2)+2^(n-1)=1(1-2^n)/(1-2)=2^n-1
即有：2^n/an=2^n-1那麼an=2^n/(2^n-1)
ai（ai--1）=2^n/(2^n-1)[2^n/(2^n-1)-1]=2^n/(2^n-1)[1/(2^n-1)]=2^n/(2^n-1)^2>0
兩邊倒數：1/[ai（ai--1）]=(2^n-1)^2/2^n=[2^(2n)-2*2^n+1]/2^n=2^n+1/2^n-2
然後根據等比數列求和方縮即可證。
a1=1,an=a(n-1)+1/[(an)-1](n＞=2)求通項公式an
15樓：吳夢之
我認為此數列沒有通項公式，因為假使給定一個a(n-1)，總有兩個an與之對應（有時可能會捨去一個）。
就以a2，a3來說。
a2滿足方程a2=a1+1/（a2﹣1），將a1=1代入，得x=1+1/（x﹣1），其中x即為a2
解之得：x1=0，x2=2。而這兩個根都符合題意，不可捨去，因此a2有兩種取值，為0或2
再看a3的值。
a3=a2+1/（a3﹣1）。若a2=0，則y=0+1/（y﹣1），解得y1=½（1+√5），y2=½（1﹣√5）
若a2=2，則y=2+1/（y﹣1），解得y3=½（3+√5），y4=½（3﹣√5）
而這四個取值也都符合題意。
以此類推，a4、a5、a6……會有越來越多的取值，而每一個取值都與前一項的值有關，因此此題必須有更多的限定條件才可以有解。
a1=2 an+1=1/2（an+1/an）求通項公式
9、若數列〔an〕中，a1＝2，a（n＋1）＝2an－1，求通項公式
16樓：匿名使用者
解：a(n+1)=2an -1
a(n+1)-1=2an -2=2(an -1)[a(n+1)-1]/(an -1)=2，為定值。
a1-1=2-1=1
數列是以1為首項，2為公比的等比數列。
an -1=1×2^(n-1)=2^(n-1)an=1+ 2^(n-1)
數列的通項公式為an=1+ 2^(n-1)。
求下列數列的通項公式，,求下列數列的通項公式
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a n 13a n 2a n 2 求a n 的通項公式a
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